プロファイルの方程式とノルムの振る舞い

命題 6.2（「Navier–Stokes 方程式 II」§6）・ ✓公理まで証明済み

$U,P$ を滑らかとし、 $(u,p)$ を定義 6.1 で定める。

(i) $(u,p)$ が $t\lt T$ で $f=0$ の Navier–Stokes 方程式を満たすことは、 $(U,P)$ が $y\in\mathbb{R}^3$ について

-\nu\Delta U+\frac12U+\frac12(y\cdot\nabla)U+(U\cdot\nabla)U+\nabla P=0,\qquad\operatorname{div}U=0

を満たすことと同値である。

(ii) $\tau=T-t$ として、 $1\le q\le\infty$ について

\|u(t)\|_q=\tau^{\frac{3-q}{2q}}\|U\|_q,\qquad\|\nabla u(t)\|^2=\tau^{-1/2}\|\nabla U\|^2 .

とくにエネルギーは $\frac12\|u(t)\|^2=\frac12\tau^{1/2}\|U\|^2\to0$ 、 $\|u(t)\|_3=\|U\|_3$ は一定、 $\|u(t)\|_\infty=\tau^{-1/2}\|U\|_\infty$ である。

(iii) $U\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 、 $U\ne0$ ならば、 $u$ のエネルギーは有界で $\nu\int_{T-1}^T\|\nabla u\|^2dt\lt\infty$ 、 $\|\nabla u(t)\|$ は系 3.3 (i) の下界と同じ速さ $\tau^{-1/4}$ で発散し、 $\|u(t)\|_3$ は有界である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 87 件、定義なども含めて 101 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I
- Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
  - Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間（上で展開済み）
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
    絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間
- 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間この先をたどる →
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

プロファイルの方程式とノルムの振る舞い

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）