Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の判定条件（先験評価）

定理 3.1（「Navier–Stokes 方程式 II」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(p,q)$ を LPS の指数とする。 $q$ と $\Omega$ だけで決まる定数 $C_q$ があって、 $\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかな解 $(u,p)$ （外力 $f$ は連続で $F:=\sup_t\|f(t)\|^2\lt\infty$ ）について、 $y(t)=\|\nabla u(t)\|^2$ は

\frac{dy}{dt}+\nu\|\Delta u\|^2\le\frac{C_q}{\nu^{p-1}}\,\|u\|_q^p\,y+\frac2\nu\|f\|^2

を満たす。したがって $\int_0^T\|u(t)\|_q^pdt\lt\infty$ ならば

\sup_{0\le t\lt T}\|\nabla u(t)\|^2\le\Bigl(\|\nabla u_0\|^2+\frac{2FT}{\nu}\Bigr)\exp\Bigl(\frac{C_q}{\nu^{p-1}}\int_0^T\|u(t)\|_q^pdt\Bigr)\lt\infty

であり、 $T$ は爆発時刻ではない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 99 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

‖∇u‖² の微分不等式✓命題 7.1・Navier–Stokes 方程式 I
- エネルギー等式✓命題 3.3・Navier–Stokes 方程式 I
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 三重線形形式の反対称性✓補題 3.2・Navier–Stokes 方程式 I
    n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I（上で展開済み）
ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I
- Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
  - Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
    絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

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爆発の速さの下界（Leray）✓系 3.3・Navier–Stokes 方程式 II

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