‖∇u‖² の微分不等式

命題 7.1（「Navier–Stokes 方程式 I」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ だけで決まる定数 $C_0$ があって、 $\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかな解 $(u,p)$ （外力 $f$ は連続で $f(t)\in L^2$ ）について、 $y(t)=\|\nabla u(t)\|^2$ は

\frac{dy}{dt}+\nu\|\Delta u\|^2\le\frac{C_0}{\nu^3}\,y^3+\frac2\nu\|f\|^2

を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

エネルギー等式✓命題 3.3・Navier–Stokes 方程式 I
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 三重線形形式の反対称性✓補題 3.2・Navier–Stokes 方程式 I
  - n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
    滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I
- Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
  - Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
    絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の判定条件（先験評価）✓定理 3.1・Navier–Stokes 方程式 II

‖∇u‖² の微分不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件