爆発の速さの下界（Leray）

系 3.3（「Navier–Stokes 方程式 II」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(u,p)$ を $\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかな解、 $T\lt\infty$ を爆発時刻とし、 $F=\sup_t\|f(t)\|^2\lt\infty$ とする。 $C_0$ を命題 7.1［Navier–Stokes 方程式 I］の定数、 $C_q$ を定理 3.1 の定数とする。

(i) すべての $0\le t\lt T$ で

\|\nabla u(t)\|^2+y_*\ge\Bigl(\frac{\nu^3}{2C_0}\Bigr)^{1/2}(T-t)^{-1/2},\qquad y_*=\Bigl(\frac{2\nu^2F}{C_0}\Bigr)^{1/3}.

とくに $f=0$ なら $\|\nabla u(t)\|\ge c\,\nu^{3/4}(T-t)^{-1/4}$ （ $c=(2C_0)^{-1/4}$ ）。

(ii) LPS の指数 $(p,q)$ について、すべての $t\lt T$ で $\int_t^T\|u(s)\|_q^pds=\infty$ であり、

\limsup_{s\uparrow T}\,(T-s)^{\frac{q-3}{2q}}\|u(s)\|_q\ge\Bigl(\frac{\nu^{p-1}}{2C_q}\Bigr)^{1/p}=c_q\,\nu^{\frac{q+3}{2q}} .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 100 件、定義なども含めて 118 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の判定条件（先験評価）✓定理 3.1・Navier–Stokes 方程式 II
- ‖∇u‖² の微分不等式✓命題 7.1・Navier–Stokes 方程式 I
  - エネルギー等式✓命題 3.3・Navier–Stokes 方程式 I
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    三重線形形式の反対称性✓補題 3.2・Navier–Stokes 方程式 I この先をたどる →
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I（上で展開済み）
- ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- Ladyzhenskaya の不等式と Sobolev の不等式✓補題 4.3・Navier–Stokes 方程式 I
  - Gagliardo–Nirenberg–Sobolev の不等式✓定理 4.3・Sobolev 空間
    Gagliardo の補題✓補題 4.2・Sobolev 空間この先をたどる →
    滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間この先をたどる →
    リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
  - 有限測度空間における包含関係✓系 4.3・L^p 空間と関数解析への導入
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

爆発の速さの下界（Leray）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理

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