問題文の条件 (4)〜(11)

定義 2.2（「Navier–Stokes 方程式 I」§2）

$n=3$ とする。 $\alpha$ は空間の多重指数、 $m\ge0$ は整数、 $K\gt0$ は任意の実数、 $e_j$ は第 $j$ 単位ベクトルである。

全空間の場合。 初期値と外力に対する条件:

\begin{aligned} &(4)\quad|\partial_x^\alpha u_0(x)|\le C_{\alpha K}(1+|x|)^{-K}\quad(x\in\mathbb{R}^3),\\ &(5)\quad|\partial_x^\alpha\partial_t^mf(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|x|+t)^{-K}\quad(x\in\mathbb{R}^3,\ t\ge0). \end{aligned}

解に対する条件:

\begin{aligned} &(6)\quad p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty)),\\ &(7)\quad\int_{\mathbb{R}^3}|u(x,t)|^2dx\lt C\quad(t\ge0)\qquad\text{（エネルギーの有界性）}. \end{aligned}

周期的な場合。 初期値と外力に対する条件:

\begin{aligned} &(8)\quad u_0(x+e_j)=u_0(x),\quad f(x+e_j,t)=f(x,t)\quad(1\le j\le3),\\ &(9)\quad|\partial_x^\alpha\partial_t^mf(x,t)|\le C_{\alpha mK}(1+|t|)^{-K}\quad(x\in\mathbb{R}^3,\ t\ge0). \end{aligned}

解に対する条件:

\begin{aligned} &(10)\quad u(x+e_j,t)=u(x,t)\quad(1\le j\le3),\\ &(11)\quad p,u\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty)). \end{aligned}

問題文に付された正誤表により、周期的な場合には圧力の周期性 $p(x+e_j,t)=p(x,t)$ も条件に加える。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。