スケール不変性と各ノルムの次数

(i) $(u,p)$ が $\mathbb{R}^d\times[0,T)$ 上で粘性 $\nu$・外力 $f$ の滑らかな解ならば、$(u_\lambda,p_\lambda)$ は $\mathbb{R}^d\times[0,T/\lambda^2)$ 上で同じ粘性 $\nu$・外力 $f_\lambda$ の滑らかな解である。

(ii) 時刻 $0$ のノルムについて、$1\le q\le\infty$、$s\ge0$ に対し

ここで $\|v\|_{\dot H^s}^2=(2\pi)^{-d}\int|\xi|^{2s}|\hat v(\xi)|^2d\xi$ である。

(iii) したがって $d=3$ では、エネルギー $\frac12\|u\|^2$ は $\lambda^{-1}$ 倍（優臨界）、$\|u\|_{L^3}$ と $\|u\|_{\dot H^{1/2}}$ は不変（臨界）、$\|\nabla u\|^2$ は $\lambda$ 倍（劣臨界）である。$d=2$ ではエネルギーが不変（臨界）である。