優臨界な量による評価は細かいスケールで弱くなる

$d=3$ とする。

(i) $u$ を $\mathbb{R}^3\times(a,b)$ 上の滑らかな解、$z_0=(x_0,t_0)$、$r\gt0$ とし、拡大 $u^{(r)}(y,s)=r\,u(x_0+ry,\,t_0+r^2s)$ を考える（外力を $r^3f(x_0+ry,t_0+r^2s)$ に替えた同じ粘性の方程式の解である）。$B_1$ を単位球、$Q_1=B_1\times(-1,1)$、$Q_r(z_0)=B_r(x_0)\times(t_0-r^2,t_0+r^2)$ とすると

したがって、$u$ のエネルギーの上界 $E$ から拡大した解 $u^{(r)}$ について分かるのは $\int_{B_1}|u^{(r)}|^2\le E/r$ だけで、$r\to0$ で発散する。

(ii) $\nu\gt0$、$f=0$ とする。もし定数 $\varepsilon_0\gt0$ があって、条件 (4) を満たし $\|u_0\|_{L^2}\le\varepsilon_0$ である任意の滑らかな発散なしベクトル場 $u_0$ に対して、(6)(7) を満たす大域解が存在するならば、命題 (A) が成り立つ。$L^2$ ノルムを、$N(\lambda u_0(\lambda\,\cdot))=\lambda^\sigma N(u_0)$（$\sigma\lt0$）を満たす任意の量 $N$ に替えても同じである。