コンパクト台の解の周期化

$\nu\gt0$ とする。$K\subset\mathbb{R}^3$ をコンパクト集合、$f$ を $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ 上の滑らかな関数で $\operatorname{supp}f\subset K\times[0,T_f]$ となるもの、$(u,p)$ を $\mathbb{R}^3\times[0,1)$ 上の滑らかな解（粘性 $\nu$、外力 $f$）で、$\operatorname{supp}u(\cdot,t)\cup\operatorname{supp}p(\cdot,t)\subset K$、かつある $t_1\gt0$ について $t\le t_1$ で $u=p=f=0$ とする。$Q_0=(-\frac12,\frac12)^3$ とし、$\lambda\gt1$ を $\lambda^{-1}K\subset Q_0$ となるように取って $t_0=1-\lambda^{-2}$ とおく。$t\ge t_0$ で

とし、$t\lt t_0$ では $0$ とする。このとき

は、$U,P_{\mathrm{per}}$ が $\mathbb{R}^3\times[0,1)$ 上、$F_{\mathrm{per}}$ が $\mathbb{R}^3\times[0,\infty)$ 上の滑らかな周期関数で、$(U,P_{\mathrm{per}})$ は同じ粘性 $\nu$・外力 $F_{\mathrm{per}}$・初期値 $0$ の周期的な Navier–Stokes 方程式の解である。$F_{\mathrm{per}}$ の時間の台は $[t_0,t_0+\lambda^{-2}T_f]$ に含まれ、$0\le s\lt1$ について $\|U(t_0+\lambda^{-2}s)\|_{L^\infty}=\lambda\|u(s)\|_{L^\infty}$ である。