数学 › 未解決問題と大定理 › Navier–Stokes 方程式 III

主張を仮定したときの (D) と (C)

命題 5.1（「Navier–Stokes 方程式 III」§5） ・ ✓公理まで証明済み

(i) （主張に依らない）ff を R3×[0,∞)\mathbb{R}^3\times[0,\infty) 上の滑らかな関数で sup⁡t∥f(t)∥L2<∞\sup_t\|f(t)\|_{L^2}\lt\infty となるもの、(u,p)(u,p) を R3×[0,1)\mathbb{R}^3\times[0,1) 上の滑らかな解（粘性 ν\nu、外力 ff、u(⋅,0)=0u(\cdot,0)=0）で、u,pu,p の空間の台が固定されたコンパクト集合に含まれるものとする。このとき ∥u(t)∥L2≤∫0t∥f(s)∥L2ds\|u(t)\|_{L^2}\le\int_0^t\|f(s)\|_{L^2}ds（0≤t<10\le t\lt1）である。

(ii) （データの条件）u0=0u_0=0 は条件 (4) を満たす。f∈Cc∞(R3×(0,∞))f\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\times(0,\infty)) は条件 (5) を満たす。命題 4.3 の FperF_{\mathrm{per}} は条件 (8)(9) を満たす。

(iii) 注意 3.1 の主張 1 の (a)(b)(c) が ν>0\nu\gt0 について正しいと仮定する。 このとき、その ν\nu について命題 (D) が成り立つ。すなわち、命題 4.3 の FperF_{\mathrm{per}} と初期値 00 に対して、条件 (10)(11) と圧力の周期性を満たす R3×[0,∞)\mathbb{R}^3\times[0,\infty) 上の滑らかな解は存在しない。

(iv) 同じ仮定のもとで、同じ ff と初期値 00 に対して、R3×[0,∞)\mathbb{R}^3\times[0,\infty) 上の滑らかな解 (v,P)(v,P) で、エネルギーが一様に有界、かつすべての T<1T\lt1 について

∫0T∥v(t)∥L33dt<∞,∫0T∥P(t)−p(t)∥L3/23/2dt<∞\int_0^T\|v(t)\|_{L^3}^3dt\lt\infty,\qquad\int_0^T\|P(t)-p(t)\|_{L^{3/2}}^{3/2}dt\lt\infty

を満たすものは存在しない。

(v) 主張 1 の (d) も正しいと仮定すれば、命題 (C) が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 108 件、定義なども含めて 127 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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