数学 › 未解決問題と大定理 › Navier–Stokes 方程式 I

Leray–Hopf の弱解

定義 5.1（「Navier–Stokes 方程式 I」§5）

d∈{2,3}d\in\{2,3\}、T>0T\gt0、u0∈Hu_0\in H、f∈L2(0,T;H−1)f\in L^2(0,T;H^{-1}) とする（記号は 定義 4.2）。u:[0,T]→Hu:[0,T]\to H が次を満たすとき、Td×[0,T]\mathbb{T}^d\times[0,T] 上の Leray–Hopf の弱解という。

(a) 各 Fourier 係数 t↦u^(k,t)t\mapsto\hat u(k,t) は連続で、sup⁡0≤t≤T∥u(t)∥<∞\sup_{0\le t\le T}\|u(t)\|\lt\infty、∫0T∥∇u(t)∥2dt<∞\int_0^T\|\nabla u(t)\|^2dt\lt\infty。

(b) 弱形式: すべての NN とすべての φ∈C1([0,T];VN)\varphi\in C^1([0,T];\mathcal{V}_N)、すべての t∈[0,T]t\in[0,T] について

⟨u(t),φ(t)⟩=⟨u0,φ(0)⟩+∫0t(⟨u,∂sφ⟩−ν⟨∇u,∇φ⟩+∫Tduiuj ∂iφj dx+⟨f,φ⟩)ds.\langle u(t),\varphi(t)\rangle=\langle u_0,\varphi(0)\rangle+\int_0^t\Bigl(\langle u,\partial_s\varphi\rangle-\nu\langle\nabla u,\nabla\varphi\rangle+\int_{\mathbb{T}^d}u_iu_j\,\partial_i\varphi_j\,dx+\langle f,\varphi\rangle\Bigr)ds .

(c) エネルギー不等式: すべての t∈[0,T]t\in[0,T] について

12∥u(t)∥2+ν∫0t∥∇u(s)∥2ds≤12∥u0∥2+∫0t⟨f(s),u(s)⟩ ds.\frac12\|u(t)\|^2+\nu\int_0^t\|\nabla u(s)\|^2ds\le\frac12\|u_0\|^2+\int_0^t\langle f(s),u(s)\rangle\,ds .

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

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