滑らかな解の局所存在と延長の判定

$\Omega=\mathbb{R}^3$ または $\mathbb{T}^3$、$\nu\gt0$ とする。$u_0$ を滑らかな発散なしベクトル場、$f$ を滑らかな外力とし、$\mathbb{R}^3$ では (4)(5)、$\mathbb{T}^3$ では (8)(9) を満たすとする（定義 2.2）。

(i) $T\gt0$ と $\Omega\times[0,T)$ 上の滑らかな解 $(u,p)$ が存在し、$\mathbb{R}^3$ ではすべての $m$ について $u\in C([0,T');H^m)$（$T'\lt T$）である。この性質をもつ滑らかな解は一意である。$f=0$ のとき、$T\ge c\,\nu^3/\|\nabla u_0\|^4$（$c$ は絶対定数）と取れる。

(ii) (i) の解が存在する最大の $T$ を $T^*$ とする。$T^*\lt\infty$ ならば $\limsup_{t\uparrow T^*}\|\nabla u(t)\|=\infty$ である。