減衰する滑らかな解

$\mathbb{R}^d\times[0,T]$ 上の滑らかな解 $(u,p)$ が減衰するとは、$p$ が有界で、すべての多重指数 $\alpha$、$m\in\{0,1\}$、$K\gt0$ について $\sup_{0\le t\le T}|\partial_x^\alpha\partial_t^mu(x,t)|\le C_{\alpha K}(1+|x|)^{-K}$ が成り立つことをいう。$\mathbb{T}^d$ 上の滑らかな解は、$u,p$ がともに周期的であるものだけを考える。