非圧縮 Navier–Stokes 方程式・Euler 方程式

$\nu\gt0$ を定数（粘性）とする。速度 $u:\Omega\times[0,T)\to\mathbb{R}^d$、圧力 $p:\Omega\times[0,T)\to\mathbb{R}$、外力 $f:\Omega\times[0,T)\to\mathbb{R}^d$、初期値 $u_0:\Omega\to\mathbb{R}^d$ に対する方程式

を非圧縮 Navier–Stokes 方程式という。ここで $((u\cdot\nabla)u)_j=u_i\partial_iu_j$ である。$\nu=0$ としたものを Euler 方程式という。$u,p$ が $\Omega\times[0,T)$ 上 $C^\infty$ 級で方程式を各点で満たすとき、$(u,p)$ を滑らかな解という。