体積関数の性質

命題 6.5（「Lorentz 多様体の因果構造」§6）・ ✓公理まで証明済み

$p\le q$ ならば $t^-(p)\le t^-(q)$ である。
$M$ が過去識別的で $p\lt q$ ならば $t^-(p)\lt t^-(q)$ である。
$t^-$ は下半連続である： $p_k\to p$ ならば $t^-(p)\le\liminf_k t^-(p_k)$ 。
$p_k\to p$ とし、無限個の $k$ で $x\in I^-(p_k)$ となる点 $x$ はすべて $\overline{I^-(p)}$ に属するとする。このとき $\limsup_k t^-(p_k)\le t^-(p)$ である。

$t^+$ についても、時間反転した主張が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 120 件、定義なども含めて 141 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

押し上げ補題✓系 4.6・Lorentz 多様体の因果構造
- 時間的未来の開性✓系 4.5・Lorentz 多様体の因果構造
  - 一様な正規近傍（Lorentz 版）✓補題 4.3・Lorentz 多様体の因果構造
    一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性この先をたどる →
    Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造この先をたどる →
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 局所因果構造✓定理 4.4・Lorentz 多様体の因果構造（上で展開済み）
  - 因果関係の推移性✓命題 3.3・Lorentz 多様体の因果構造
- 局所因果構造✓定理 4.4・Lorentz 多様体の因果構造
  - Lorentz 版の Gauss の補題✓補題 4.2・Lorentz 多様体の因果構造
    Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造この先をたどる →
    曲率テンソルの対称性✓定理 6.3・曲がった時空のテンソル解析この先をたどる →
    Levi-Civita 接続の存在と一意性✓定理 3.4・曲がった時空のテンソル解析この先をたどる →
    時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造
  - 時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造
  - 一様な正規近傍（Lorentz 版）✓補題 4.3・Lorentz 多様体の因果構造（上で展開済み）
- 時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造
許容測度の存在✓補題 6.3・Lorentz 多様体の因果構造
- 時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造
- 可算性の含意関係✓命題 7.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- ボレル集合族の直積✓命題 2.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
時間的過去の境界は非時間的✓補題 6.2・Lorentz 多様体の因果構造
- 時間的未来の開性✓系 4.5・Lorentz 多様体の因果構造（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

因果的に単純ならば安定因果的✓定理 4.7・因果階層

体積関数の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件