微分法とその応用：計算規則の根拠から、グラフ・解の個数・一般二項定理・累乗の塔まで

0. この記事の要点

高校の微分では「$f'(x)>0$ の区間ではグラフが右上がり」「$f''(x)>0$ ならグラフは下に膨らむ」と習い、増減表を書けばグラフが描けました。この記事は、そうなる理由を、定義から順に確かめます。たとえば「$e^x$ のグラフはその接線より必ず上にある」「3 次関数のグラフは真ん中の点に関して点対称になる」「方程式の解は何個あるか」といった、図を見て納得していた事実を、証明つきで言えるようになります。

• 高校の微分法は、公式を覚えて計算し、増減表でグラフを描く科目です。この記事は、その公式と増減表がなぜ正しいかを、大学の微分積分学の定理（平均値の定理・陰関数定理・テイラーの定理）を指しながら整理します。
• 指数関数・対数関数・三角関数は前の記事（指数・対数・三角関数をきちんと定義する）で級数から定義しました。この記事では、その定義から $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$、$(a^x)'=a^x\log a$、$(\log|x|)'=1/x$ を導き、対数微分法と陰関数の微分の根拠を示します。
• 関数の凹凸と第 2 次導関数の符号の関係を、平均値の定理から証明します。そこから「接線は凸関数のグラフの下にある」という、不等式の証明に強力な事実も出ます。
• 漸近線・3 次関数のグラフ（変曲点に関する点対称）・方程式の実数解の個数・定数分離を、グラフの増減と中間値の定理から証明します。
• 平均値の定理による評価、一般二項定理 $(1+x)^\alpha=\sum\binom\alpha kx^k$（$|x|<1$）、累乗の塔 $x^{x^{x^{\cdots}}}$ が収束する範囲 $e^{-e}\le x\le e^{1/e}$ も、証明します。

この記事で使う事前知識

• 指数関数: $e^x=\sum x^k/k!$ という級数で定義された関数で、何回微分しても変わらない。→ 指数関数
• 対数: 指数関数の逆の対応。$a^y=x$ となる $y$ を $\log_ax$ と書く。→ 対数
• 微分係数: 点 $a$ での変化率 $\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$。→ 微分係数
• 関数の極限: $x$ を $a$ に限りなく近づけたとき、$f(x)$ が近づく値。→ 関数の極限
• 連続性: $x$ が $a$ に近づけば $f(x)$ が $f(a)$ に近づく、という性質。→ 連続性
• 二項係数: $n$ 個から $k$ 個を選ぶ選び方の数 $\dbinom nk$。→ 二項係数

1. 動機：「微分できる」から「グラフがわかる」までの道

高校の微分法の使い方は、次の流れです。

1. $f(x)=x^n$、$\sin x$、$e^x$ などの導関数を覚える。
2. 積・商・合成の規則で、複雑な関数の導関数を求める。
3. $f'(x)$ の符号から増減表を作り、$f''(x)$ の符号から凹凸を調べ、グラフの概形を描く。
4. グラフから、方程式の解の個数や不等式の成り立つ範囲を読み取る。

どの段も、使っている事実が「なぜ正しいか」は大学の微分積分学にあります。たとえば 3 の「導関数が正なら増加する」は平均値の定理の帰結（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］）です。ところが、「$f''>0$ なら下に凸」はどうでしょうか。「下に凸」を定義から言い換えて確かめている教科書は少なく、「グラフの形から明らか」で済ませることが多いのです。この記事では、そのような「図から明らか」の部分を、定義から証明します。

使う根の定理は次のとおりです。いずれも大学の記事で証明されています。

用途	結果
微分の計算規則	積・商の法則（定理 6.1［導関数の定義と基本的な微分法］）、連鎖律（定理 7.2［導関数の定義と基本的な微分法］）、逆関数の微分（命題 8.1［導関数の定義と基本的な微分法］）
平均値の定理	ラグランジュの平均値の定理（定理 3.3［平均値の定理とテイラーの定理］）、導関数の符号と単調性（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］）、テイラーの定理（定理 5.3［平均値の定理とテイラーの定理］）
陰関数	陰関数定理（定理 5.1［逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値］）
連続関数	中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）
初等関数	前の記事の定理（$\exp$、$\log$、$a^x=\exp(x\log a)$ など）

2. 導関数の計算規則

2.1. 基本関数の導関数

前の記事で $\exp'=\exp$（定理 3.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）、$\log'(x)=1/x$（定理 4.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）、$\sin'=\cos$、$\cos'=-\sin$（定理 6.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）を証明しました。これらを土台に、高校で使う導関数の公式を揃えます。

命題 2.1（基本関数の導関数）✓

1. 整数 $n$ について $(x^n)'=nx^{n-1}$（$n<0$ のときは $x\ne0$）。
2. 実数 $\alpha$ について、$x>0$ で $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$。
3. $a>0$ について $(a^x)'=a^x\log a$（$x\in\mathbb R$）。
4. $x\ne0$ で $(\log|x|)'=\dfrac1x$。$a>0$、$a\ne1$ について、$x>0$ で $(\log_ax)'=\dfrac1{x\log a}$。
5. $\cos x\ne0$ で $(\tan x)'=\dfrac1{\cos^2x}$。

証明（命題 2.1）

(1) $n\ge1$ は 補題 3.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］、$n=0$ は定数、$n<0$ は $x^n=1/x^{-n}$ に商の法則（定理 6.1［導関数の定義と基本的な微分法］）を使って $\bigl(1/x^{m}\bigr)'=-mx^{m-1}/x^{2m}=-mx^{-m-1}$（$m=-n$）。

(2) $x>0$ で $x^\alpha=\exp(\alpha\log x)$（定理 4.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）です。連鎖律（定理 7.2［導関数の定義と基本的な微分法］）より $(x^\alpha)'=\exp(\alpha\log x)\cdot\dfrac\alpha x=x^\alpha\cdot x^{-1}\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$（指数法則 定理 4.2［指数関数と対数関数］ (1)）です。

(3) $a^x=\exp(x\log a)$ を連鎖律で微分して $\log a\cdot\exp(x\log a)=a^x\log a$ です。

(4) $x>0$ は 定理 4.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (4)。$x<0$ では $\log|x|=\log(-x)$ で、連鎖律から $\dfrac1{-x}\cdot(-1)=\dfrac1x$ です。底の変換（定理 5.4［指数関数と対数関数］）から $\log_ax=\dfrac{\log x}{\log a}$ なので、$(\log_ax)'=\dfrac1{x\log a}$ です。ここで、指数法則の記事の「底が $e$ の対数」は、前の記事の $\log$ と同じ関数です（$e^x=\exp(x\log e)=\exp x$ による）。

(5) 補題 9.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (3) です。

∎

2.2. 対数微分法

命題 2.2（対数微分法）✓

開区間 $I$ 上で $f,g$ は微分可能とし、$f>0$ とする。

1. $(\log f)'=\dfrac{f'}f$。
2. $f^g=\exp(g\log f)$ は微分可能で、$(f^g)'=f^g\left(g'\log f+\dfrac{gf'}f\right)$。

証明（命題 2.2）

(1) 連鎖律と $\log'(y)=1/y$ です。(2) $f^g=\exp(g\log f)$（定理 4.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）を、連鎖律・積の法則・(1) で微分します：$(f^g)'=\exp(g\log f)\cdot\bigl(g'\log f+g\,(\log f)'\bigr)=f^g\left(g'\log f+\dfrac{gf'}f\right)$。

∎

例 2.3（$x^x$ の導関数）

$x>0$ で $f(x)=x^x$ とすると、命題 2.2 で $f=g=x$、$f'=g'=1$ として $(x^x)'=x^x(\log x+1)$ です。$f'(x)=0$ となるのは $\log x=-1$、すなわち $x=1/e$ だけで、$f$ は $(0,1/e]$ で減少、$[1/e,\infty)$ で増加します（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）。したがって $f$ の最小値は $f(1/e)=e^{-1/e}$ です。

2.3. 陰関数の微分

円 $x^2+y^2=1$ の上半分は $y=\sqrt{1-x^2}$ と書けますが、$y$ を $x$ の式で解けない曲線 $F(x,y)=0$ も、局所的にはグラフ $y=g(x)$ になることがあります。その導関数を、$y$ を解かずに求める方法が陰関数の微分です。

次の命題の主張には、高校では出てこない言葉が並びます。開集合は、平面の部分集合で、その各点のまわりに小さな円板がまるごと入っているもの（境界を含まない領域）のことです。偏導関数 $F_x,F_y$ は、$F(x,y)$ の一方の変数だけを動かし、他方を固定して微分したものです（$F=x^2+xy+y^2-3$ なら $F_x=2x+y$）。$C^1$ 級は、偏導関数がすべて存在して連続であることです。要するに、$F$ がなめらかで $y$ 方向に変化している点では、曲線は局所的に $y=g(x)$ と書け、傾きは $-F_x/F_y$ になる、というのが主張です。

命題 2.4（陰関数の微分）✓

$\Omega\subseteq\mathbb R^2$ を開集合、$F:\Omega\to\mathbb R$ を $C^1$ 級とし、$F(a,b)=0$、$\dfrac{\partial F}{\partial y}(a,b)\ne0$ とする。このとき $a$ を含む開区間 $X$ と $C^1$ 級関数 $g:X\to\mathbb R$ が存在して、$g(a)=b$、$F(x,g(x))=0$（$x\in X$）であり、

$$g'(x)=-\frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}$$

である（$F_x,F_y$ は偏導関数）。

証明（命題 2.4）

陰関数定理（定理 5.1［逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値］）で $n=m=1$ とした場合です。$y$ に関する偏微分の $1\times1$ 行列 $F_y(a,b)$ が正則（$\ne0$）なので、$a$ の近傍 $X$、$b$ の近傍 $Y$、$C^1$ 級の $g:X\to Y$ があって、$X\times Y$ の中の $F=0$ の点は $(x,g(x))$ だけ、$g(a)=b$、そして $Dg(x)=-\bigl(D_yF\bigr)^{-1}D_xF$、すなわち上の式です。

∎

例 2.5（$x^2 +$ xy $+ y^2 = 3$ の接線）

点 $(1,1)$ は $F(x,y)=x^2+xy+y^2-3=0$ を満たします。$F_x=2x+y$、$F_y=x+2y$ で、$F_y(1,1)=3\ne0$ なので 命題 2.4 から $g'(1)=-\dfrac{3}3=-1$、接線は $y-1=-(x-1)$、すなわち $y=-x+2$ です。

2.4. 接線と法線

定義 2.6（接線・法線）↗

$f$ が $a$ で微分可能であるとき、直線 $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ を、点 $(a,f(a))$ における $y=f(x)$ の接線という。$f'(a)\ne0$ のとき、この点で接線に垂直な直線 $y=f(a)-\dfrac1{f'(a)}(x-a)$ を法線という。

接線は、微分可能性の定義そのものから、「$a$ の近くで $f$ を最もよく近似する 1 次関数のグラフ」です（定理 4.1［導関数の定義と基本的な微分法］）。

例 2.7（原点を通る log x の接線）

$y=\log x$ の点 $(a,\log a)$ での接線は $y=\log a+\dfrac1a(x-a)$ で、原点を通る条件は $0=\log a-1$、すなわち $\log a=1$、$a=e$ です。接線は $y=x/e$ です。

3. 増減と極値

以下で「狭義単調増加」は、$x<y$ ならつねに $f(x)<f(y)$ となること（等号を許さない増加）、「狭義単調減少」はその逆向きのことです。

関数の増減表の根拠は、導関数の符号と単調性（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］）です。それを使って、「$f'$ の符号が $+$ から $-$ に変わる点で極大」を証明します。

命題 3.1（極値の判定（増減表の根拠））✓

$f$ を開区間 $I$ 上微分可能とし、$a\in I$、$\delta>0$、$(a-\delta,a+\delta)\subseteq I$ とする。

1. $(a-\delta,a)$ で $f'>0$、$(a,a+\delta)$ で $f'<0$ ならば、$0<|x-a|<\delta$ で $f(x)<f(a)$ である（$a$ で極大）。
2. $(a-\delta,a)$ で $f'<0$、$(a,a+\delta)$ で $f'>0$ ならば、$0<|x-a|<\delta$ で $f(x)>f(a)$ である（$a$ で極小）。

証明（命題 3.1）

(1) のみ示します（(2) は $-f$ に使う）。$f$ は微分可能なので連続で、$(a-\delta,a)$ で $f'>0$ だから、$(a-\delta,a]$ 上で $f$ は狭義単調増加です（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)。区間 $(a-\delta,a]$ の内部で $f'>0$、端点 $a$ では連続）。よって $x\in(a-\delta,a)$ で $f(x)<f(a)$。同様に $[a,a+\delta)$ 上で狭義単調減少なので、$x\in(a,a+\delta)$ で $f(x)<f(a)$ です。

∎

4. 凹凸と第 2 次導関数

4.1. 凸関数の定義

「下に凸」とは、グラフ上の 2 点を結ぶ線分が、グラフの上にある（グラフより下に来ない）ことです。式で書くと次のとおりです。

定義 4.1（区間上の凸関数）↗

$I$ を区間とする。$f:I\to\mathbb R$ が凸（下に凸）であるとは、すべての $x,y\in I$ と $0\le\lambda\le1$ について

$$f\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)\le(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$$

が成り立つことをいう。$-f$ が凸であるとき、$f$ は凹（上に凸）であるという。

下に凸のグラフ上の 3 点 X, Z, Y（x < z < y）。線分 XZ、XY、ZY の傾きは、この順に大きくなる（点線が XY）。

これは実解析の凸関数の定義（定義 2.1［凸解析］）の、1 変数・区間上の場合です。次の補題は、その言い換えです。

補題の主張は、図の 3 点 X、Z、Y について、線分 XZ、XY、ZY の傾きが左から右へ大きくなる、ということです（図では傾きが $3,5,6$）。「グラフが下に曲がっていく」ことを、傾きの大小で言い直したものです。証明では、$z$ が $x$ から $y$ へ向かう途中のどのあたりにあるかを $\lambda$（$0$ から $1$ までの割合）で表し、定義の不等式をそのまま使います。

補題 4.2（傾きの不等式）✓

$f:I\to\mathbb R$ が凸ならば、$x<z<y$（$x,y,z\in I$）に対し

$$\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\le\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\le\frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$

が成り立つ。

証明（補題 4.2）

$\lambda=\dfrac{z-x}{y-x}\in(0,1)$ とおくと $z=(1-\lambda)x+\lambda y$ で、凸性から $f(z)\le(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$、すなわち $f(z)-f(x)\le\lambda\bigl(f(y)-f(x)\bigr)$ です。両辺を $z-x=\lambda(y-x)>0$ で割ると第 1 の不等式です。また $f(y)-f(z)\ge f(y)-(1-\lambda)f(x)-\lambda f(y)=(1-\lambda)\bigl(f(y)-f(x)\bigr)$ で、$y-z=(1-\lambda)(y-x)>0$ で割ると第 2 の不等式です。

∎

4.2. 第 2 次導関数の符号との関係

この節の定理は、高校で使ってきた「$f''\ge0$ なら下に凸」を、定義（定義 4.1）から証明するものです。流れは、$f''\ge0$ から $f'$ が増加し、平均値の定理で傾きを比べて凸の定義の不等式を得る、という順です。逆向きには、上の傾きの不等式で $z$ を端点に近づけ、極限を取ります。

定理 4.3（凹凸と第 2 次導関数）✓

$f$ を開区間 $I$ 上で 2 回微分可能な関数とする。次の 3 条件は同値である。

1. $f$ は $I$ 上で凸である。
2. $f'$ は $I$ 上で単調に増加する（$x<y\Rightarrow f'(x)\le f'(y)$）。
3. $I$ 上で $f''\ge0$。

証明（定理 4.3）

(2) と (3) の同値。 $f'$ に 系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (2) を使うだけです。

(2) ならば (1). $x<z<y$ とします。平均値の定理（定理 3.3［平均値の定理とテイラーの定理］）から $\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x}=f'(\xi_1)$、$\dfrac{f(y)-f(z)}{y-z}=f'(\xi_2)$（$x<\xi_1<z<\xi_2<y$）で、$f'$ は増加なので $f'(\xi_1)\le f'(\xi_2)$ です。すなわち $(f(z)-f(x))(y-z)\le(f(y)-f(z))(z-x)$。整理して $f(z)(y-x)\le f(x)(y-z)+f(y)(z-x)$、$\lambda=\dfrac{z-x}{y-x}$ とおけば $f(z)\le(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$（$z=(1-\lambda)x+\lambda y$）で、凸性です（$\lambda=0,1$ は自明）。

(1) ならば (2). $x<y$ とし、$x<z<y$ に 補題 4.2 を使うと $\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x}\le\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}$ です。$z\to x$（$z>x$）の極限を取ると（数列 $z_n\to x$ で考える。命題 2.2［数列と関数の極限］ (5)）、$f'(x)\le\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}$。同様に $\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\le\dfrac{f(y)-f(z)}{y-z}$ で $z\to y$（$z<y$）として $\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\le f'(y)$ です（極限の大小。命題 2.2［数列と関数の極限］ (5)）。よって $f'(x)\le f'(y)$ です。

∎

とくに、$f''>0$ ならば $f'$ は狭義単調増加です。区間の中で $f''$ の符号が変わる点が変曲点です（凸から凹へ、あるいは凹から凸へ変わる点）。

系 4.4（凸関数のグラフは接線の上にある）✓

$f$ が開区間 $I$ 上で微分可能な凸関数ならば、すべての $a,x\in I$ に対し $f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)$ である。

証明（系 4.4）

補題 4.2 を使います。$x>a$ のとき、$a<z<x$ に補題を適用すると $\dfrac{f(z)-f(a)}{z-a}\le\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ で、$z\to a$（$z>a$）とすると $f'(a)\le\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ です（極限の大小。命題 2.2［数列と関数の極限］ (5)）。よって $f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)$ です。$x<a$ のとき、$x<z<a$ に補題を適用すると $\dfrac{f(a)-f(x)}{a-x}\le\dfrac{f(a)-f(z)}{a-z}$ で、$z\to a$（$z<a$）とすると $\dfrac{f(a)-f(x)}{a-x}\le f'(a)$、すなわち $f(a)-f(x)\le f'(a)(a-x)$ で、$f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)$ です。$x=a$ は等号です。

∎

例 4.5（接線の不等式 $e^x ≥ 1 + x$、log x ≤ x − 1）

$\exp''=\exp>0$ なので $\exp$ は凸で、$a=0$ での接線 $y=1+x$ について $e^x\ge1+x$（すべての実数 $x$）です。$\log''(x)=-1/x^2<0$ なので $\log$ は凹で、$a=1$ での接線 $y=x-1$ について $\log x\le x-1$（$x>0$）です。どちらも接点では等号が成り立ちます。

4.3. 第 2 次導関数による極値の判定

増減表を書かなくても、$f'(a)=0$ となる点で $f''(a)$ の符号を見るだけで極大・極小がわかることがあります。その根拠は、$f''(a)$ が $f'$ の微分係数なので、$f''(a)>0$ なら $a$ の近くで $f'$ の符号が $-$ から $+$ に変わる、ということです。

命題 4.6（第 2 次導関数による極値の判定）✓

$f$ を開区間 $I$ 上微分可能とし、$a\in I$ で $f'(a)=0$、かつ $f'$ が $a$ で微分可能であるとする。

1. $f''(a)>0$ ならば、ある $\delta>0$ が存在して $0<|x-a|<\delta$ で $f(x)>f(a)$ である（$a$ で極小）。
2. $f''(a)<0$ ならば、ある $\delta>0$ が存在して $0<|x-a|<\delta$ で $f(x)<f(a)$ である（$a$ で極大）。

証明（命題 4.6）

(1) を示します（(2) は $-f$ に (1) を使う）。$f''(a)$ は $f'$ の $a$ における微分係数（定義 3.1［導関数の定義と基本的な微分法］）で、$f'(a)=0$ なので

$$f''(a)=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}$$

です。極限の定義で $\varepsilon=f''(a)/2>0$ とすると、ある $\delta>0$ があって $(a-\delta,a+\delta)\subseteq I$ かつ、$0<|x-a|<\delta$ で $\left|\dfrac{f'(x)}{x-a}-f''(a)\right|<\dfrac{f''(a)}2$、とくに $\dfrac{f'(x)}{x-a}>\dfrac{f''(a)}2>0$ です。したがって $x\in(a-\delta,a)$ では $x-a<0$ なので $f'(x)<0$、$x\in(a,a+\delta)$ では $f'(x)>0$ です。命題 3.1 (2) より、$0<|x-a|<\delta$ で $f(x)>f(a)$ です。

∎

$f''$ が $a$ の近くで連続なら、$f''(a)>0$ から $a$ のある開区間で $f''>0$ となり、定理 4.3 によりそこで $f$ は凸、系 4.4 により $f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)=f(a)$ です。上の命題は、$f''$ の連続性を仮定せずに、しかも狭義の不等式を出しています。多変数では、$f''(a)$ の代わりにヘッセ行列（2 階の偏導関数を並べた行列）の固有値の符号を見ます（定理 9.13［多変数関数の微分と偏微分］）。

$f''(a)=0$ のときは、この判定では何もわかりません。$f(x)=x^3$ は $f'(0)=f''(0)=0$ で、$0$ で極値をとりません（狭義単調増加）。$f(x)=x^4$ も $f'(0)=f''(0)=0$ ですが、$0$ で極小です（$-x^4$ なら極大）。このときは 命題 3.1 のように $f'$ の符号の変化を直接調べます。

5. 漸近線

グラフの概形を描くとき、$x\to\infty$ で曲線が直線に限りなく近づくなら、その直線は漸近線です。

5.1. 指数関数は多項式より速く増える

漸近線を調べる前に、指数関数と多項式の増え方の比較を示します。これは、$xe^{-x}$ のようなグラフの概形を描くときに必ず使う事実です。

命題 5.1（指数関数の増加の速さ）✓

1. 整数 $k\ge0$ について、$x>0$ で $0<x^ke^{-x}\le\dfrac{(k+1)!}x$。とくに $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^ke^{-x}=0$。
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}x=0$、$\displaystyle\lim_{\substack{x\to0\\x>0}}x\log x=0$（定義域を $(0,\infty)$ とした $x\to0$ の極限）。

証明（命題 5.1）

(1) $x\ge0$ で $\exp x=\sum_jx^j/j!$ の項はすべて $0$ 以上なので、$j=k+1$ の項だけを残して $e^x\ge\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ です。$e^{-x}=1/e^x$（定理 3.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (2)）から $x^ke^{-x}\le\dfrac{(k+1)!}x$ です。$\varepsilon>0$ に対し $M=(k+1)!/\varepsilon$ とすれば、$x>M$ で $0<x^ke^{-x}<\varepsilon$ です（定義 6.2［数列と関数の極限］）。

(2) $\varepsilon>0$ に対し、(1) の $k=1$ から $M$ があって $t>M$ ならば $te^{-t}<\varepsilon$ です。$x>e^M$ ならば $t=\log x>M$（$\log$ は単調増加）で、$x=e^t$ なので $\dfrac{\log x}x=te^{-t}<\varepsilon$ です。また $0<x<e^{-M}$ ならば $t=-\log x>M$ で、$x=e^{-t}$ なので $|x\log x|=te^{-t}<\varepsilon$ です。

∎

5.2. 漸近線の求め方

命題 5.2（漸近線の求め方）✓

$f$ を区間 $[c,\infty)$ 上の関数とし、$a,b$ を実数とする。次の 2 条件は同値である。

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax-b\bigr)=0$（直線 $y=ax+b$ が漸近線）。
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a$ かつ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr)=b$。

証明（命題 5.2）

(1) ならば (2). $x_n\to\infty$ を任意にとります。$\varepsilon_n=f(x_n)-ax_n-b$ は 命題 6.3［数列と関数の極限］ から $0$ に収束し、また $1/x_n\to0$（$\varepsilon>0$ に対し $x_n>1/\varepsilon$ となる番号から先）です。したがって $\dfrac{f(x_n)}{x_n}=a+\dfrac b{x_n}+\dfrac{\varepsilon_n}{x_n}\to a$、$f(x_n)-ax_n=b+\varepsilon_n\to b$（命題 2.2［数列と関数の極限］ (3)）です。数列は任意なので、同じ命題で関数の極限が従います。(2) ならば (1). 差の極限 $b-b=0$ です。

∎

実際の求め方は (2) の順です。まず $a=\lim f(x)/x$ を求め、次に $b=\lim(f(x)-ax)$ を求めます。$a$ や $b$ が存在しなければ、その向きの漸近線はありません。$x\to-\infty$ も同様です。

例 5.3（有理関数の漸近線）

$x>1$ で $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ とすると、$f(x)-(x+1)=\dfrac{x^2+1-(x^2-1)}{x-1}=\dfrac2{x-1}\to0$ です。命題 5.2 (1) から $y=x+1$ が漸近線です（$a=1$、$b=1$）。また $x\to1+$ では、分子が $x^2+1\ge2$ なので $f(x)\ge\dfrac2{x-1}\to\infty$ で、$x=1$ も（縦の）漸近線です。

例 5.4（$x e^{−x}$ の水平な漸近線）

$f(x)=xe^{-x}$ は、命題 5.1 (1) の $k=1$ から $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ なので、$y=0$ が $x\to\infty$ での漸近線です。$f'(x)=(1-x)e^{-x}$ から、$f$ は $x=1$ で最大値 $e^{-1}$ を取り、$(-\infty,1]$ で増加、$[1,\infty)$ で減少します。$f(0)=0$ で、$x<0$ では $f(x)<0$ です。

6. 3 次関数のグラフ

3 次関数のグラフが、変曲点に関して点対称であること、極値の有無が判別式 $b^2-3ac$ で決まることを証明します。$a>0$ とするのは一般性を失いません（$a<0$ なら $-f$ を考えます）。

補題 6.1（3 次関数の両端の挙動）✓

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a>0$）とする。任意の $K$ に対しある $M$ があって、$x\ge M$ ならば $f(x)>K$、$x\le-M$ ならば $f(x)<-K$ である。

証明（補題 6.1）

$s=|b|+|c|+|d|$ とおく。$|x|\ge1$ で $|bx^2+cx+d|\le s\,x^2$ で、$|x|\ge2s/a$ ならば $sx^2\le\frac a2|x|^3$ です。したがって $|x|\ge M_0=\max\left(1,\frac{2s}a\right)$ で $|f(x)-ax^3|\le\frac a2|x|^3$、すなわち $x\ge M_0$ で $f(x)\ge\frac a2x^3$、$x\le-M_0$ で $f(x)\le\frac a2x^3$（負）です。$K$ が与えられたとき $M\ge M_0$ を $\frac a2M^3>|K|$ となるように取れば、主張が成り立ちます。

∎

定理 6.2（3 次関数のグラフ）✓

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a>0$）とし、$x_0=-\dfrac b{3a}$、$D=b^2-3ac$ とする。

1. すべての $h$ に対して $f(x_0+h)+f(x_0-h)=2f(x_0)$。すなわちグラフは点 $(x_0,f(x_0))$ に関して点対称である。$f''(x)<0$（$x<x_0$）、$f''(x)>0$（$x>x_0$）で、$x_0$ は変曲点である。
2. $D>0$ のとき、$\alpha=\dfrac{-b-\sqrt D}{3a}<\beta=\dfrac{-b+\sqrt D}{3a}$ とおくと $f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta)$ で、$f$ は $(-\infty,\alpha]$ で狭義単調増加、$[\alpha,\beta]$ で狭義単調減少、$[\beta,\infty)$ で狭義単調増加である。$f(\alpha)$ は極大値、$f(\beta)$ は極小値である。
3. $D\le0$ のとき、$f$ は $\mathbb R$ 上で狭義単調増加である（極値を持たない）。

証明（定理 6.2）

(1) 展開すると

$$f(x_0+h)=ah^3+(3ax_0+b)h^2+(3ax_0^2+2bx_0+c)h+f(x_0)$$

で、$3ax_0+b=0$ より $h^2$ の係数は $0$、$h$ の係数は $f'(x_0)$ です。したがって $f(x_0+h)-f(x_0)=ah^3+f'(x_0)h$ は $h$ の奇関数で、$f(x_0+h)+f(x_0-h)=2f(x_0)$ です。また $f''(x)=6ax+2b=6a(x-x_0)$ です。

(2)(3) $f'(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x-x_0)^2-\dfrac D{3a}$ と平方完成できます。$D>0$ のとき、$f'$ の 2 つの零点は $x_0\pm\dfrac{\sqrt D}{3a}$、すなわち $\alpha,\beta$ で、$f'=3a(x-\alpha)(x-\beta)$ です。したがって $f'>0$（$x<\alpha$ または $x>\beta$）、$f'<0$（$\alpha<x<\beta$）で、単調性は 系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3) から従います。極大・極小は 命題 3.1 です。$D\le0$ のとき、$f'(x)\ge0$ で、$f'(x)=0$ となる $x$ は（$D=0$ のときの $x_0$ 以外）ありません。$f$ は連続で単調増加（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (2)）であり、$x<y$ で $f(x)=f(y)$ とすると $[x,y]$ 上で定数となって $f'=0$ が区間で成り立つことになり矛盾なので、狭義単調増加です。

∎

7. 方程式の実数解の個数

7.1. 単調な区間に分けて数える

グラフの増減がわかれば、方程式 $f(x)=k$ の解の個数が数えられます。その根拠は次のとおりです。

定理 7.1（単調な区間ごとの解の個数）✓

$-\infty\le p_0<p_1<\cdots<p_m\le+\infty$ とし、$I_i=\{x\in\mathbb R:\ p_{i-1}\le x\le p_i\}$（$i=1,\dots,m$）、$I=I_1\cup\cdots\cup I_m$ とする。内側の分点 $p_1,\dots,p_{m-1}$ は区間に含める。両端 $p_0,p_m$ が有限のとき、そこで $f$ が定義されていなければ（たとえば $1/x$ の $x=0$）、その端点は除いて $I_1,I_m$ を考える。$f$ が $I$ で連続で、各 $I_i$ で狭義単調であるとする。このとき、実数 $k$ について

$$\#\{x\in I:f(x)=k\}=\#\{i:\ k\in f(I_i)\}-\#\{i\in\{1,\dots,m-1\}:\ f(p_i)=k\}$$

である。ここで $f(I_i)$ は $I_i$ での値域であり、連続で狭義単調な関数の値域は端点の値（または $\pm\infty$ への極限）で挟まれた区間である。

証明（定理 7.1）

各 $I_i$ で $f$ は狭義単調なので単射で、$f(x)=k$ の解は高々 1 つです。$k\in f(I_i)$ なら（定義から）ちょうど 1 つあります。$I$ 全体の解の個数は、各 $I_i$ の解の個数を足して、2 つの区間に重複して数えられた解を引いたものです。区間 $I_i$ と $I_{i+1}$ が共有する点は $p_i$ だけなので、重複して数えられるのは、$f(p_i)=k$ となる分点 $p_i$ が解であるときで、そのときだけ 1 回引けばよいのです。値域が端点の値で挟まれた区間であることは、中間値の定理（定理 5.7［極限と連続性］）と単調性から従います。

∎

系 7.2（3 次方程式の実数解の個数）✓

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a>0$）とし、$D=b^2-3ac$ とする。$f(x)=0$ の相異なる実数解の個数は次のとおりである。

1. $D\le0$ のとき $1$ 個。
2. $D>0$ のとき（極大値 $f(\alpha)$、極小値 $f(\beta)$。定理 6.2）：$f(\alpha)>0>f(\beta)$ なら $3$ 個、$f(\alpha)f(\beta)=0$ なら $2$ 個（片方は重解）、$f(\alpha)<0$ または $f(\beta)>0$ なら $1$ 個。

証明（系 7.2）

$D\le0$ のとき $f$ は $\mathbb R$ で狭義単調増加で、補題 6.1 と中間値の定理から値域は $\mathbb R$ なので、$f(x)=0$ はちょうど 1 つ解を持ちます。$D>0$ のとき、$I_1=(-\infty,\alpha]$、$I_2=[\alpha,\beta]$、$I_3=[\beta,\infty)$ に 定理 7.1 を使います。値域は 補題 6.1 から $f(I_1)=(-\infty,f(\alpha)]$、$f(I_2)=[f(\beta),f(\alpha)]$（$f(\alpha)>f(\beta)$）、$f(I_3)=[f(\beta),\infty)$ です。$k=0$ について、(i) $f(\alpha)>0>f(\beta)$ のとき $0$ は 3 つの値域すべてに入り、分点 $\alpha,\beta$ での値は $0$ でないので $3$ 個。(ii) $f(\alpha)=0$（このとき $f(\beta)<0$）のとき、3 つとも入り、分点 $\alpha$ が解なので $3-1=2$ 個。$f(\beta)=0$（$f(\alpha)>0$）のときも同様に $2$ 個。(iii) $f(\alpha)<0$ のとき $f(\beta)<f(\alpha)<0$ で、$0$ が入るのは $f(I_3)$ だけ、$f(\beta)>0$ のとき $f(\alpha)>f(\beta)>0$ で入るのは $f(I_1)$ だけなので、どちらも $1$ 個です。

∎

例 7.3（3 次方程式の解の個数）

$x^3-3x+1=0$：$a=1$、$b=0$、$c=-3$、$D=9>0$、$\alpha=-1$、$\beta=1$。$f(-1)=3>0>f(1)=-1$ なので、相異なる実数解は 3 個です（極限と連続性の記事 の 3 次方程式の例と同じ結論）。$x^3-3x+2=0$：$f(-1)=4$、$f(1)=0$ なので $2$ 個で、実際 $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ です。

7.2. 定数分離

「$f(x)=k$ の解の個数」を、グラフ $y=f(x)$ と水平線 $y=k$ の交点の個数と読む方法を定数分離といいます。

例 7.4（$e^x =$ kx の実数解の個数）

$x=0$ は解でない（$e^0=1\ne0$）ので、$k=q(x)=e^x/x$ の解の個数を数えます。$q'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$ です。

$x>0$。 $q$ は $(0,1]$ で狭義単調減少、$[1,\infty)$ で狭義単調増加で、$q(1)=e$。$x\to0+$ で $q(x)\ge1/x\to\infty$（$e^x\ge1$）、$x\to\infty$ で $q(x)\ge x/2\to\infty$（$e^x\ge x^2/2$。命題 5.1）なので、$q((0,1])=[e,\infty)$、$q([1,\infty))=[e,\infty)$ です。定理 7.1 から、$k>e$ なら $2$ 個、$k=e$ なら $2-1=1$ 個、$k<e$ なら $0$ 個です。

$x<0$。 $q'<0$ で $q$ は狭義単調減少、$q<0$。$x\le-1$ で $|q(x)|\le e^x\to0$（$x\to-\infty$）です。また $-\frac12<x<0$ では $e^x\ge1+x>\frac12$（例 4.5）で、$x<0$ で割ると向きが変わるので $q(x)<\dfrac1{2x}\to-\infty$（$x\to0-$）です。よって値域は $(-\infty,0)$ で、定理 7.1（$m=1$、端点 $0$ は除く）から $k<0$ なら $1$ 個、$k\ge0$ なら $0$ 個です。

まとめると、実数解の個数は $k<0$ で $1$、$0\le k<e$ で $0$、$k=e$ で $1$、$k>e$ で $2$ です。

8. 平均値の定理による評価

平均値の定理は、導関数の情報を関数の値の差の評価に変えます。次の 3 つが使いやすい形です。

定理 8.1（平均値の定理による評価）✓

$f,g$ を $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能とする。

1. $(a,b)$ で $m\le f'\le M$ ならば、$a\le x<y\le b$ に対し $m(y-x)\le f(y)-f(x)\le M(y-x)$。とくに $|f'|\le L$ ならば $|f(y)-f(x)|\le L|y-x|$。
2. （比較）$f(a)\le g(a)$ かつ $(a,b)$ で $f'\le g'$ ならば、$[a,b]$ 上で $f\le g$。
3. $0<a<b$ ならば $\dfrac{b-a}b<\log b-\log a<\dfrac{b-a}a$。

証明（定理 8.1）

(1) $[x,y]$ に平均値の定理（定理 3.3［平均値の定理とテイラーの定理］）を使うと、$f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x)$（$x<\xi<y$）で、$m\le f'(\xi)\le M$ です。(2) $h=g-f$ とおくと $h'\ge0$ なので $h$ は $[a,b]$ で単調増加（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (2)）で、$h(x)\ge h(a)\ge0$ です。(3) $\log$ に平均値の定理（定理 3.3［平均値の定理とテイラーの定理］）を使います：$\log b-\log a=\dfrac{b-a}\xi$（$a<\xi<b$）で、$\dfrac1b<\dfrac1\xi<\dfrac1a$ です。

∎

例 8.2（log(1 + x) の評価）

$x>0$ に 定理 8.1 (3) を $a=1$、$b=1+x$ として使うと $\dfrac x{1+x}<\log(1+x)<x$ です。たとえば $x=0.1$ では $0.0909\cdots<\log1.1<0.1$ で、実際の値は $0.0953\cdots$ です。

例 8.3（x ≥ 0 で sin x ≤ x）

$f(x)=\sin x$、$g(x)=x$ とすると $f(0)=0=g(0)$、$f'(x)=\cos x\le1=g'(x)$（定理 6.5［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）なので、定理 8.1 (2) から $[0,b]$（$b>0$ は任意）で $\sin x\le x$ です。

8.1. テイラーの定理による近似

テイラーの定理（定理 5.3［平均値の定理とテイラーの定理］）は、平均値の定理の高次への拡張で、関数を多項式で近似し、誤差を評価します。

例 8.4（e の近似値と誤差）

$f=\exp$ は何回でも微分可能で $f^{(k)}=\exp$ です。$a=0$、$x=1$ としてテイラーの定理を使うと、ある $c\in(0,1)$ があって

$$e=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}+\frac{e^c}{(n+1)!}$$

です。$e^c<e<3$ なので、誤差は $\dfrac3{(n+1)!}$ 未満です。$n=7$ とすると $\sum_{k=0}^71/k!=2.71825396\cdots$ で、誤差は $3/8!<7.5\times10^{-5}$ です。実際の $e=2.71828182\cdots$ との差は $2.8\times10^{-5}$ で、評価の範囲内です。

9. 一般二項定理

高校では、二項定理 $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^k$ を自然数 $n$ について習います。指数を実数 $\alpha$ にした $(1+x)^\alpha$ を、$x$ の無限級数に展開できるか、という問題を考えます。係数には、$n$ 個から $k$ 個を選ぶ選び方の数である二項係数を、$n$ が整数でない場合に広げたものが現れます。

次の定理の証明は、右辺の級数を $S(x)$ とおき、(a) $S$ が微分できること、(b) $(1+x)S'=\alpha S$ を満たすこと、(c) $S(x)(1+x)^{-\alpha}$ が定数になること、の 3 段階で進みます。

定義 9.1（一般の二項係数）↗

実数 $\alpha$ と整数 $k\ge0$ に対し

$$\binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}\quad(k\ge1),\qquad\binom\alpha0=1$$

と定める。$\alpha=n$ が非負整数のとき、これは通常の二項係数 $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$（命題 7.2［数え上げと母関数］）に等しく、$k>n$ では $0$ である。

定理 9.2（一般二項定理）✓

$\alpha$ を実数、$|x|<1$ とする。このとき

$$(1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\binom\alpha kx^k$$

が成り立つ（右辺は絶対収束する）。

証明（定理 9.2）

$\alpha$ が非負整数 $n$ のときは、右辺は有限和で、二項定理（定理 7.3［数え上げと母関数］）そのものです。以下、$\alpha$ は非負整数でないとし、$a_k=\binom\alpha k$ とおきます。このとき、すべての $k$ で $a_k\ne0$、

$$(k+1)a_{k+1}=(\alpha-k)\,a_k\qquad(k\ge0)$$

が成り立ちます（定義から）。

収束と項別微分。 $0<\rho<1$ を取り、$|x|\le\rho$ で考えます。項の比 $\dfrac{|a_{k+1}x^{k+1}|}{|a_kx^k|}=\dfrac{|\alpha-k|}{k+1}|x|\to|x|<1$ なので、比判定法（定理 6.2［級数と収束判定］）から $S(x)=\sum a_kx^k$ は絶対収束します。導関数の級数 $\sum_{k\ge1}ka_kx^{k-1}$ についても、項の比は同じ理由で $\rho$ に近づくので、$M_k=k|a_k|\rho^{k-1}$ も $\sum M_k<\infty$（比判定法）であり、M 判定法（系 6.4［関数列と一様収束］）により $S_N(x)=\sum_{k\le N}a_kx^k$ の導関数 $S_N'$ は $[-\rho,\rho]$ 上で一様収束します。項別微分（定理 7.3［関数列と一様収束］）から、$S$ は $(-\rho,\rho)$ で微分可能で $S'(x)=\sum_{k\ge1}ka_kx^{k-1}$ です。

微分方程式。 $(1+x)S'(x)=\alpha S(x)$ を示します。収束する 2 つの級数を項ごとに足すと

$$(1+x)S'(x)=\sum_{j\ge0}(j+1)a_{j+1}x^j+\sum_{j\ge0}ja_jx^j=\sum_{j\ge0}\bigl[(j+1)a_{j+1}+ja_j\bigr]x^j=\sum_{j\ge0}\alpha a_jx^j=\alpha S(x)$$

です（上の漸化式 $(j+1)a_{j+1}=(\alpha-j)a_j$ を使った）。

一意性。 $h(x)=S(x)\,(1+x)^{-\alpha}$（$-1<x<1$）とおきます。$(1+x)^{-\alpha}=\exp(-\alpha\log(1+x))$ は正で、命題 2.1 (2) と連鎖律から $\dfrac{d}{dx}(1+x)^{-\alpha}=-\alpha(1+x)^{-\alpha-1}$ です。積の法則で

$$h'(x)=S'(x)(1+x)^{-\alpha}-\alpha S(x)(1+x)^{-\alpha-1}=(1+x)^{-\alpha-1}\bigl[(1+x)S'(x)-\alpha S(x)\bigr]=0$$

です。$h$ は $(-\rho,\rho)$ 上で定数（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (1)）で、$h(0)=S(0)=1$ です。したがって $S(x)=(1+x)^\alpha$（$|x|<\rho$）で、$\rho<1$ は任意です。

∎

例 9.3（平方根と逆数の級数展開）

$\alpha=\frac12$：$\binom{1/2}1=\frac12$、$\binom{1/2}2=\frac{(1/2)(-1/2)}2=-\frac18$、$\binom{1/2}3=\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}6=\frac1{16}$ なので、$|x|<1$ で

$$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\cdots$$

です。$\alpha=-1$：$\binom{-1}k=(-1)^k$ なので $\dfrac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots$ で、等比級数の和の公式（命題 3.2［数列と関数の極限］）を再現します。$\alpha=-\frac12$ で $x$ を $-x$ に替えると $\dfrac1{\sqrt{1-x}}=1+\dfrac x2+\dfrac{3x^2}8+\cdots$ で、$x=0.01$ とすると $1/\sqrt{0.99}\approx1+0.005+0.0000375=1.0050375$ です（実際の値 $1.00503782\cdots$）。

10. 累乗の塔の収束

最後に、少し変わった問題として、累乗の塔

$$x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$$

を調べます。$x>0$ に対し、数列 $a_1=x$、$a_{n+1}=x^{a_n}$ を考えると、$a_2=x^x$、$a_3=x^{x^x}$、… で、これが塔の「下から $n$ 階分」です。$x=\sqrt2$ のときは $a_n\to2$ のようです（$\sqrt2^2=2$ だから、極限が存在すれば不動点 $2$ のはず。不動点とは $x^L=L$ のように、操作を施しても変わらない値のことです）。どの $x$ で収束するのでしょうか。

10.1. 準備

補題 10.1（log t / t の最大値）✓

$t>0$ ならば $\log t\le t/e$、すなわち $\dfrac{\log t}t\le\dfrac1e$ である。等号は $t=e$ のときだけ成り立つ。

証明（補題 10.1）

$g(t)=\log t-t/e$ とおくと $g'(t)=\dfrac1t-\dfrac1e$ は $0<t<e$ で正、$t>e$ で負です。したがって $g$ は $(0,e]$ で狭義単調増加、$[e,\infty)$ で狭義単調減少で（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）、$g(t)\le g(e)=\log e-1=0$、等号は $t=e$ のときだけです。

∎

次の補題の目標は、底が 1 より小さい $x$ で反復 $a_{n+1}=x^{a_n}$ が 2 つの値を行き来して収束しなくなることが、どの範囲で起きないかを決めることです。証明は、そのような 2 つの値 $s,u$ があったと仮定して $y\le e$ との矛盾を導く形で、場合分けが続きますが、使うのは $t\log t$ の増減と、$m(c)>0$ という 1 つの不等式だけです。

底が 1 より小さいとき、$f(t)=x^t$ は減少関数で、$f\circ f$ は増加関数です。そのとき $f$ の「2 周期点」（$f(s)=u$、$f(u)=s$、$s\ne u$）が現れなければ収束します。次の補題は、それが現れない範囲を決めます。

補題 10.2（2 周期点が現れない範囲）✓

$0<x<1$、$y=-\log x$ とし、$y\le e$（すなわち $x\ge e^{-e}$）とする。$s,u\in(0,1)$ が $x^u=s$、$x^s=u$ を満たすならば $s=u$ である。

証明（補題 10.2）

$s\ne u$ と仮定して矛盾を導きます。$\log s=u\log x$、$\log u=s\log x$ を、それぞれ $s$、$u$ 倍して $s\log s=su\log x=u\log u$ を得ます。$w(t)=t\log t$ とおくと $w'(t)=\log t+1$ で、$w$ は $(0,1/e]$ で狭義単調減少、$[1/e,1)$ で狭義単調増加です（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）。$w(s)=w(u)$、$s\ne u$ なので、$s,u$ は $1/e$ をはさんで反対側にあり、$s<1/e<u$ としてよいです（$s,u$ の役割は対称）。$c=-\log s$ とおくと $c>1$ で、$\log s=u\log x$ から $c=yu$、すなわち $y=c/u$ です。$y\le e$ とは $u\ge c/e$ のことなので、これが矛盾することを示します。

$c\ge e$ のとき：$u<1\le c/e$ で、$u\ge c/e$ に反します。$1<c<e$ のとき：$c/e\in(1/e,1)$ で、$w$ は $[1/e,1)$ で狭義単調増加なので、$u<c/e$ は $w(u)<w(c/e)$ と同値です。$w(u)=w(s)=-ce^{-c}$、$w(c/e)=\dfrac ce(\log c-1)$ なので、これは $-e^{1-c}<\log c-1$、すなわち

$$m(c)=\log c-1+e^{1-c}>0$$

と同値です。$m(1)=0$、$m'(c)=\dfrac1c-e^{1-c}$ で、$c>1$ では $e^{c-1}=\sum(c-1)^j/j!>1+(c-1)=c$（級数の項が正でさらに $j\ge2$ の項がある）なので $e^{1-c}<1/c$、すなわち $m'(c)>0$ です。したがって $m$ は $[1,\infty)$ で狭義単調増加で、$c>1$ で $m(c)>0$ です。よって $u<c/e$、すなわち $y=c/u>e$ となり、$y\le e$ に反します。

∎

10.2. 収束する範囲

定理 10.3（累乗の塔の収束範囲）✓

$x>0$ とし、$a_1=x$、$a_{n+1}=x^{a_n}$ とする。数列 $(a_n)$ が収束するための必要十分条件は

$$e^{-e}\le x\le e^{1/e}$$

である。収束するとき、極限 $L$ は方程式 $x^L=L$ の解である。

証明（定理 10.3）

$f(t)=x^t=\exp(t\log x)$（$t>0$）とします。$f$ は連続で、$a_{n+1}=f(a_n)$ です。すべての $n$ で $a_n\ge\min(x,1)>0$ です（$x\ge1$ なら $x^{a_n}\ge1$。$x<1$ のときは下の (iii) の議論で $a_n\in[x,1)$）。したがって $(a_n)$ が収束するならば、極限 $L$ は正で、$f$ は $L$ で連続なので $a_{n+1}=f(a_n)\to f(L)$（命題 5.5［数列と関数の極限］ (1)）、極限の一意性から $f(L)=L$、すなわち $x^L=L$ です。$x=1$ は $a_n=1$ で収束します。

(i) $1<x\le e^{1/e}$ のとき収束する。 $e^{1/e}<e$ なので $x\in[1,e]$ です。$I=[1,e]$ とします。$\log x>0$ なので $f$ は増加で、$f(I)\subseteq[f(1),f(e)]=[x,x^e]$ です。$x\ge1$、かつ $\log x\le1/e$ から $x^e=\exp(e\log x)\le\exp1=e$ なので $f(I)\subseteq I$ です。$a_1=x\in I$ なので、定理 5.6［数列と関数の極限］ (2) により $(a_n)$ は収束します。

(ii) $x>e^{1/e}$ のとき発散する。 $\log x>1/e$ で、補題 10.1 から $t>0$ で $\dfrac{\log t}t\le\dfrac1e<\log x$、すなわち $t\log x>\log t$、$x^t>t$ です。したがって $a_{n+1}=x^{a_n}>a_n$（$a_n>0$）で、$(a_n)$ は狭義単調増加です。もし収束するなら、極限 $L>0$ は $x^L=L$ を満たしますが、$x^L>L$ に反します。よって収束せず（単調増加なので $\infty$ に発散）です。

(iii) $e^{-e}\le x<1$ のとき収束する。 $y=-\log x\in(0,e]$ です。$a_n\in(0,1)$（$a_1=x$、$a_n>0$ なら $0<x^{a_n}<1$）で、さらに $a_n<1$ から $a_{n+1}=x^{a_n}>x^1=x$、すなわち $a_n\ge x>0$ です。$f$ は狭義単調減少で、$h=f\circ f$ は増加です。$a_{2n+1}=h(a_{2n-1})$ なので、奇数番目の部分列 $(a_{2n-1})$ は単調です（$a_3\ge a_1$ なら帰納的に $a_{2n+3}=h(a_{2n+1})\ge h(a_{2n-1})=a_{2n+1}$、$a_3\le a_1$ なら逆）。有界なので、単調有界定理（定理 2.1［級数と収束判定］）で $L_1$ に収束します。$f$ の連続性から $a_{2n}=f(a_{2n-1})\to f(L_1)=:L_2$、$a_{2n+1}=f(a_{2n})\to f(L_2)$ なので $f(L_2)=L_1$ です。$x\le L_1\le1$ で、$L_1=1$ とすると $f(f(1))=x^x=1$ となって $x=1$ に反するので $L_1<1$ です。$s=L_1$、$u=L_2$ は $(0,1)$ の点で $x^u=s$、$x^s=u$ を満たすので、補題 10.2 から $s=u$ です。したがって奇数番目と偶数番目の部分列が同じ極限に収束し、$(a_n)$ 全体が収束します（$\varepsilon>0$ に対し、両方の部分列の番号を取れば、それより先のすべての $n$ で $|a_n-L_1|<\varepsilon$）。

(iv) $0<x<e^{-e}$ のとき発散する。 $y=-\log x>e$ とし、$(a_n)$ が収束すると仮定して矛盾を導きます。(iii) と同様に $a_n\in[x,1)$ で、極限 $L\in[x,1]$ は $f(L)=L$ を満たします。$f(1)=x\ne1$ なので $L<1$ です。$f(L)=L$ から $e^{-yL}=L$、すなわち $-\log L/L=y>e$ です。関数 $t\mapsto-\log t/t$ は $(0,e)$ で狭義単調減少（導関数 $(\log t-1)/t^2<0$）で、$t=1/e$ で値 $e$ を取るので、$L<1/e$ です。したがって $yL=-\log L>1$ です。

$f'(t)=-yf(t)$ は連続で、$|f'(L)|=yL>1$ なので、$\rho=\dfrac{1+yL}2>1$ とすると、$\delta>0$ があって $|t-L|<\delta$ ならば $|f'(t)|>\rho$ です。$a_n\to L$ なので、$N$ があってすべての $n\ge N$ で $|a_n-L|<\delta$ です。$n\ge N$ で、平均値の定理（定理 3.3［平均値の定理とテイラーの定理］）から

$$|a_{n+1}-L|=|f(a_n)-f(L)|=|f'(\xi)|\,|a_n-L|>\rho\,|a_n-L|$$

（$\xi$ は $a_n$ と $L$ の間）で、$a_n\ne L$ ならば帰納的に $|a_{N+m}-L|>\rho^m|a_N-L|$ です。$a_n=L$ となる $n$ は存在しません（$a_n=L=f(L)$ なら $f$ の単射性から $a_{n-1}=L$、…、$a_1=x=L$ で、$x^x=x$、すなわち $x=1$ となって矛盾）。ところが $\rho^m\ge1+m(\rho-1)\to\infty$ （補題 3.1［指数関数と対数関数］）で、$|a_{N+m}-L|<\delta$ に反します。

∎

例 10.4（累乗の塔の極限の例）

$x=\sqrt2$ は $1<\sqrt2<e^{1/e}=1.4446\cdots$ を満たします（$\sqrt2=1.4142\cdots$）。定理 10.3 から収束し、極限 $L$ は $(\sqrt2)^L=L$ の解です。$a_{n+1}=(\sqrt2)^{a_n}<(\sqrt2)^2=2$ から（帰納法で）$a_n<2$ なので $L\le2$ です。方程式 $(\sqrt2)^L=L$ は、両辺の対数を取って $g(L)=\frac{\log2}2L-\log L=0$ です。$g''(t)=1/t^2>0$ なので $g'$ は狭義単調増加で、ロルの定理（定理 3.1［平均値の定理とテイラーの定理］）から $g$ の零点は高々 2 個です。$g(2)=g(4)=0$ なので零点は $2$ と $4$ だけで、$L\le2$ から $L=2$ です。$x=e^{1/e}$ のときは、$x^L=L$ すなわち $\dfrac{\log L}L=\dfrac1e$ で、補題 10.1 の等号条件から $L=e$ だけです。$x=e^{-e}$（$=0.0659\cdots$）のときも収束し、極限は $L=1/e$ です（$(e^{-e})^{1/e}=e^{-1}$ なので不動点で、$t\mapsto t-x^t$ は狭義単調増加なので不動点は 1 つだけ）。

11. 大学ではどこへ続くか

• 平均値の定理とテイラーの定理。 この記事で使った平均値の定理は、平均値の定理とテイラーの定理 で定義から証明され、ロピタルの定理・テイラー展開へと続きます。
• 凸解析。 凸関数の定義（定義 4.1）を多変数・無限次元に広げた理論が 凸解析 です。「接線がグラフの下にある」（系 4.4）は、劣勾配の理論の最初の例です。
• 陰関数定理・多変数の微分。 命題 2.4 の一般形、条件付き極値のラグランジュの乗数法は 逆関数定理と陰関数定理 です。
• べき級数と解析関数。 一般二項定理は、収束円板の中で関数をべき級数に展開する一例で、複素関数論（複素数と複素平面 の続き）につながります。
• 力学系。 累乗の塔は、1 次元の反復写像 $a_{n+1}=f(a_n)$ の最も簡単な例で、不動点の安定性（$|f'|<1$）や 2 周期点の分岐が現れます。

12. 演習

演習 12.1標準

$x>0$ で $f(x)=x^{1/x}$ の最大値と、それを与える $x$ を求めよ。

解答

$f(x)=\exp\left(\dfrac{\log x}x\right)$ で、命題 2.2 または連鎖律から $f'(x)=f(x)\cdot\dfrac{1-\log x}{x^2}$ である。$f>0$ なので、$f'$ の符号は $1-\log x$ の符号で、$(0,e)$ で正、$(e,\infty)$ で負。したがって $f$ は $(0,e]$ で狭義単調増加、$[e,\infty)$ で狭義単調減少（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）で、$x=e$ で最大値 $f(e)=e^{1/e}$ を取る。

演習 12.2標準

$\exp$ が凸であること（$\exp''=\exp>0$）を使って、正の実数 $x,y$ に対し $\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}2$ を示せ。

解答

$\exp''=\exp>0$ なので、定理 4.3 から $\exp$ は凸である。$a=\log x$、$b=\log y$、$\lambda=\frac12$ として定義（定義 4.1）を使うと $\exp\left(\frac{a+b}2\right)\le\frac{\exp a+\exp b}2=\frac{x+y}2$。左辺は $\exp\left(\frac12\log(xy)\right)=(xy)^{1/2}=\sqrt{xy}$（定理 4.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ と 定理 4.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (2)）である。

演習 12.3易

$\dfrac1{\sqrt{1-x}}$ の $x$ の 2 次までの展開を、定理 9.2 から求めよ。

解答

$\alpha=-\frac12$、$x$ を $-x$ に替える。$\binom{-1/2}1=-\frac12$、$\binom{-1/2}2=\frac{(-1/2)(-3/2)}2=\frac38$ なので、$(1+(-x))^{-1/2}=1+\left(-\frac12\right)(-x)+\frac38(-x)^2+\cdots=1+\frac x2+\frac{3x^2}8+\cdots$ である（$|x|<1$）。

参考文献

• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 微分法の章（平均値の定理・テイラーの定理・凸関数）。
• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 5（微分）、Chapter 8（べき級数）。
• J. Knoebel, “Exponentials reiterated”, The American Mathematical Monthly 88 (1981), 235–252 — 累乗の塔の収束。
• 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 微分法の章（凸関数・二項級数）。