3 次関数のグラフ

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a>0$）とし、$x_0=-\dfrac b{3a}$、$D=b^2-3ac$ とする。

1. すべての $h$ に対して $f(x_0+h)+f(x_0-h)=2f(x_0)$。すなわちグラフは点 $(x_0,f(x_0))$ に関して点対称である。$f''(x)<0$（$x<x_0$）、$f''(x)>0$（$x>x_0$）で、$x_0$ は変曲点である。
2. $D>0$ のとき、$\alpha=\dfrac{-b-\sqrt D}{3a}<\beta=\dfrac{-b+\sqrt D}{3a}$ とおくと $f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta)$ で、$f$ は $(-\infty,\alpha]$ で狭義単調増加、$[\alpha,\beta]$ で狭義単調減少、$[\beta,\infty)$ で狭義単調増加である。$f(\alpha)$ は極大値、$f(\beta)$ は極小値である。
3. $D\le0$ のとき、$f$ は $\mathbb R$ 上で狭義単調増加である（極値を持たない）。