# 微分法とその応用：計算規則の根拠から、グラフ・解の個数・一般二項定理・累乗の塔まで > 導関数の計算規則を指数・対数・陰関数まで整理し、増減・凹凸・漸近線・3 次関数のグラフ・解の個数を証明つきで扱う。平均値の定理による評価、一般二項定理、累乗の塔の収束範囲も示す。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-analysis/differentiation ## 0. この記事の要点 高校の微分では「$f'(x)>0$ の区間ではグラフが右上がり」「$f''(x)>0$ ならグラフは下に膨らむ」と習い、増減表を書けばグラフが描けました。この記事は、そうなる理由を、定義から順に確かめます。たとえば「$e^x$ のグラフはその接線より必ず上にある」「3 次関数のグラフは真ん中の点に関して点対称になる」「方程式の解は何個あるか」といった、図を見て納得していた事実を、証明つきで言えるようになります。 - 高校の微分法は、公式を覚えて計算し、増減表でグラフを描く科目です。この記事は、その公式と増減表が**なぜ正しいか**を、大学の微分積分学の定理（平均値の定理・陰関数定理・テイラーの定理）を指しながら整理します。 - 指数関数・対数関数・三角関数は前の記事（[指数・対数・三角関数をきちんと定義する](/mathematics/hs-analysis/elementary-functions)）で級数から定義しました。この記事では、その定義から $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$、$(a^x)'=a^x\log a$、$(\log|x|)'=1/x$ を導き、**対数微分法**と**陰関数の微分**の根拠を示します。 - 関数の凹凸と第 2 次導関数の符号の関係を、平均値の定理から証明します。そこから「接線は凸関数のグラフの下にある」という、不等式の証明に強力な事実も出ます。 - 漸近線・3 次関数のグラフ（変曲点に関する点対称）・方程式の実数解の個数・定数分離を、グラフの増減と中間値の定理から証明します。 - 平均値の定理による評価、一般二項定理 $(1+x)^\alpha=\sum\binom\alpha kx^k$（$|x|<1$）、累乗の塔 $x^{x^{x^{\cdots}}}$ が収束する範囲 $e^{-e}\le x\le e^{1/e}$ も、証明します。 ## 1. 動機：「微分できる」から「グラフがわかる」までの道 高校の微分法の使い方は、次の流れです。 1. $f(x)=x^n$、$\sin x$、$e^x$ などの導関数を覚える。 2. 積・商・合成の規則で、複雑な関数の導関数を求める。 3. $f'(x)$ の符号から**増減表**を作り、$f''(x)$ の符号から**凹凸**を調べ、グラフの概形を描く。 4. グラフから、方程式の解の個数や不等式の成り立つ範囲を読み取る。 どの段も、使っている事実が「なぜ正しいか」は大学の微分積分学にあります。たとえば 3 の「導関数が正なら増加する」は平均値の定理の帰結（）です。ところが、「$f''>0$ なら下に凸」はどうでしょうか。「下に凸」を定義から言い換えて確かめている教科書は少なく、「グラフの形から明らか」で済ませることが多いのです。この記事では、そのような「図から明らか」の部分を、定義から証明します。 使う根の定理は次のとおりです。いずれも大学の記事で証明されています。 | 用途 | 結果 | |---|---| | 微分の計算規則 | 積・商の法則（）、連鎖律（）、逆関数の微分（） | | 平均値の定理 | ラグランジュの平均値の定理（）、導関数の符号と単調性（）、テイラーの定理（） | | 陰関数 | 陰関数定理（） | | 連続関数 | 中間値の定理（） | | 初等関数 | 前の記事の定理（$\exp$、$\log$、$a^x=\exp(x\log a)$ など） | ## 2. 導関数の計算規則 ### 2.1. 基本関数の導関数 前の記事で $\exp'=\exp$（）、$\log'(x)=1/x$（）、$\sin'=\cos$、$\cos'=-\sin$（）を証明しました。これらを土台に、高校で使う導関数の公式を揃えます。 1. 整数 $n$ について $(x^n)'=nx^{n-1}$（$n<0$ のときは $x\ne0$）。 2. 実数 $\alpha$ について、$x>0$ で $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$。 3. $a>0$ について $(a^x)'=a^x\log a$（$x\in\mathbb R$）。 4. $x\ne0$ で $(\log|x|)'=\dfrac1x$。$a>0$、$a\ne1$ について、$x>0$ で $(\log_ax)'=\dfrac1{x\log a}$。 5. $\cos x\ne0$ で $(\tan x)'=\dfrac1{\cos^2x}$。 **(1)** $n\ge1$ は 、$n=0$ は定数、$n<0$ は $x^n=1/x^{-n}$ に商の法則（）を使って $\bigl(1/x^{m}\bigr)'=-mx^{m-1}/x^{2m}=-mx^{-m-1}$（$m=-n$）。 **(2)** $x>0$ で $x^\alpha=\exp(\alpha\log x)$（）です。連鎖律（）より $(x^\alpha)'=\exp(\alpha\log x)\cdot\dfrac\alpha x=x^\alpha\cdot x^{-1}\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$（指数法則 (1)）です。 **(3)** $a^x=\exp(x\log a)$ を連鎖律で微分して $\log a\cdot\exp(x\log a)=a^x\log a$ です。 **(4)** $x>0$ は (4)。$x<0$ では $\log|x|=\log(-x)$ で、連鎖律から $\dfrac1{-x}\cdot(-1)=\dfrac1x$ です。底の変換（）から $\log_ax=\dfrac{\log x}{\log a}$ なので、$(\log_ax)'=\dfrac1{x\log a}$ です。ここで、指数法則の記事の「底が $e$ の対数」は、前の記事の $\log$ と同じ関数です（$e^x=\exp(x\log e)=\exp x$ による）。 **(5)** (3) です。 ### 2.2. 対数微分法 開区間 $I$ 上で $f,g$ は微分可能とし、$f>0$ とする。 1. $(\log f)'=\dfrac{f'}f$。 2. $f^g=\exp(g\log f)$ は微分可能で、$(f^g)'=f^g\left(g'\log f+\dfrac{gf'}f\right)$。 **(1)** 連鎖律と $\log'(y)=1/y$ です。**(2)** $f^g=\exp(g\log f)$（）を、連鎖律・積の法則・(1) で微分します：$(f^g)'=\exp(g\log f)\cdot\bigl(g'\log f+g\,(\log f)'\bigr)=f^g\left(g'\log f+\dfrac{gf'}f\right)$。 $x>0$ で $f(x)=x^x$ とすると、 で $f=g=x$、$f'=g'=1$ として $(x^x)'=x^x(\log x+1)$ です。$f'(x)=0$ となるのは $\log x=-1$、すなわち $x=1/e$ だけで、$f$ は $(0,1/e]$ で減少、$[1/e,\infty)$ で増加します（ (3)）。したがって $f$ の最小値は $f(1/e)=e^{-1/e}$ です。 ### 2.3. 陰関数の微分 円 $x^2+y^2=1$ の上半分は $y=\sqrt{1-x^2}$ と書けますが、$y$ を $x$ の式で解けない曲線 $F(x,y)=0$ も、局所的にはグラフ $y=g(x)$ になることがあります。その導関数を、$y$ を解かずに求める方法が陰関数の微分です。 次の命題の主張には、高校では出てこない言葉が並びます。**開集合**は、平面の部分集合で、その各点のまわりに小さな円板がまるごと入っているもの（境界を含まない領域）のことです。**偏導関数** $F_x,F_y$ は、$F(x,y)$ の一方の変数だけを動かし、他方を固定して微分したものです（$F=x^2+xy+y^2-3$ なら $F_x=2x+y$）。**$C^1$ 級**は、偏導関数がすべて存在して連続であることです。要するに、$F$ がなめらかで $y$ 方向に変化している点では、曲線は局所的に $y=g(x)$ と書け、傾きは $-F_x/F_y$ になる、というのが主張です。 $\Omega\subseteq\mathbb R^2$ を開集合、$F:\Omega\to\mathbb R$ を $C^1$ 級とし、$F(a,b)=0$、$\dfrac{\partial F}{\partial y}(a,b)\ne0$ とする。このとき $a$ を含む開区間 $X$ と $C^1$ 級関数 $g:X\to\mathbb R$ が存在して、$g(a)=b$、$F(x,g(x))=0$（$x\in X$）であり、 $$ g'(x)=-\frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))} $$ である（$F_x,F_y$ は偏導関数）。 陰関数定理（）で $n=m=1$ とした場合です。$y$ に関する偏微分の $1\times1$ 行列 $F_y(a,b)$ が正則（$\ne0$）なので、$a$ の近傍 $X$、$b$ の近傍 $Y$、$C^1$ 級の $g:X\to Y$ があって、$X\times Y$ の中の $F=0$ の点は $(x,g(x))$ だけ、$g(a)=b$、そして $Dg(x)=-\bigl(D_yF\bigr)^{-1}D_xF$、すなわち上の式です。 点 $(1,1)$ は $F(x,y)=x^2+xy+y^2-3=0$ を満たします。$F_x=2x+y$、$F_y=x+2y$ で、$F_y(1,1)=3\ne0$ なので から $g'(1)=-\dfrac{3}3=-1$、接線は $y-1=-(x-1)$、すなわち $y=-x+2$ です。 ### 2.4. 接線と法線 $f$ が $a$ で微分可能であるとき、直線 $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ を、点 $(a,f(a))$ における $y=f(x)$ の**接線**という。$f'(a)\ne0$ のとき、この点で接線に垂直な直線 $y=f(a)-\dfrac1{f'(a)}(x-a)$ を**法線**という。 接線は、微分可能性の定義そのものから、「$a$ の近くで $f$ を最もよく近似する 1 次関数のグラフ」です（）。 $y=\log x$ の点 $(a,\log a)$ での接線は $y=\log a+\dfrac1a(x-a)$ で、原点を通る条件は $0=\log a-1$、すなわち $\log a=1$、$a=e$ です。接線は $y=x/e$ です。 ## 3. 増減と極値 以下で「狭義単調増加」は、$x）です。それを使って、「$f'$ の符号が $+$ から $-$ に変わる点で極大」を証明します。 $f$ を開区間 $I$ 上微分可能とし、$a\in I$、$\delta>0$、$(a-\delta,a+\delta)\subseteq I$ とする。 1. $(a-\delta,a)$ で $f'>0$、$(a,a+\delta)$ で $f'<0$ ならば、$0<|x-a|<\delta$ で $f(x)0$ ならば、$0<|x-a|<\delta$ で $f(x)>f(a)$ である（$a$ で極小）。 (1) のみ示します（(2) は $-f$ に使う）。$f$ は微分可能なので連続で、$(a-\delta,a)$ で $f'>0$ だから、$(a-\delta,a]$ 上で $f$ は狭義単調増加です（ (3)。区間 $(a-\delta,a]$ の内部で $f'>0$、端点 $a$ では連続）。よって $x\in(a-\delta,a)$ で $f(x) ## 4. 凹凸と第 2 次導関数 ### 4.1. 凸関数の定義 「下に凸」とは、グラフ上の 2 点を結ぶ線分が、グラフの上にある（グラフより下に来ない）ことです。式で書くと次のとおりです。 $I$ を区間とする。$f:I\to\mathbb R$ が**凸**（下に凸）であるとは、すべての $x,y\in I$ と $0\le\lambda\le1$ について $$ f\bigl((1-\lambda)x+\lambda y\bigr)\le(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y) $$ が成り立つことをいう。$-f$ が凸であるとき、$f$ は**凹**（上に凸）であるという。
X Z Y x z y
これは実解析の凸関数の定義（）の、1 変数・区間上の場合です。次の補題は、その言い換えです。 補題の主張は、図の 3 点 X、Z、Y について、線分 XZ、XY、ZY の傾きが左から右へ大きくなる、ということです（図では傾きが $3,5,6$）。「グラフが下に曲がっていく」ことを、傾きの大小で言い直したものです。証明では、$z$ が $x$ から $y$ へ向かう途中のどのあたりにあるかを $\lambda$（$0$ から $1$ までの割合）で表し、定義の不等式をそのまま使います。 $f:I\to\mathbb R$ が凸ならば、$x $\lambda=\dfrac{z-x}{y-x}\in(0,1)$ とおくと $z=(1-\lambda)x+\lambda y$ で、凸性から $f(z)\le(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$、すなわち $f(z)-f(x)\le\lambda\bigl(f(y)-f(x)\bigr)$ です。両辺を $z-x=\lambda(y-x)>0$ で割ると第 1 の不等式です。また $f(y)-f(z)\ge f(y)-(1-\lambda)f(x)-\lambda f(y)=(1-\lambda)\bigl(f(y)-f(x)\bigr)$ で、$y-z=(1-\lambda)(y-x)>0$ で割ると第 2 の不等式です。 ### 4.2. 第 2 次導関数の符号との関係 この節の定理は、高校で使ってきた「$f''\ge0$ なら下に凸」を、定義（）から証明するものです。流れは、$f''\ge0$ から $f'$ が増加し、平均値の定理で傾きを比べて凸の定義の不等式を得る、という順です。逆向きには、上の傾きの不等式で $z$ を端点に近づけ、極限を取ります。 $f$ を開区間 $I$ 上で 2 回微分可能な関数とする。次の 3 条件は同値である。 1. $f$ は $I$ 上で凸である。 2. $f'$ は $I$ 上で単調に増加する（$x **(2) と (3) の同値。** $f'$ に (2) を使うだけです。 **(2) ならば (1).** $x）から $\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x}=f'(\xi_1)$、$\dfrac{f(y)-f(z)}{y-z}=f'(\xi_2)$（$x<\xi_1 を使うと $\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x}\le\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}$ です。$z\to x$（$z>x$）の極限を取ると（数列 $z_n\to x$ で考える。 (5)）、$f'(x)\le\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}$。同様に $\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\le\dfrac{f(y)-f(z)}{y-z}$ で $z\to y$（$z (5)）。よって $f'(x)\le f'(y)$ です。 とくに、$f''>0$ ならば $f'$ は狭義単調増加です。区間の中で $f''$ の符号が変わる点が**変曲点**です（凸から凹へ、あるいは凹から凸へ変わる点）。 $f$ が開区間 $I$ 上で微分可能な凸関数ならば、すべての $a,x\in I$ に対し $f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)$ である。 を使います。$x>a$ のとき、$aa$）とすると $f'(a)\le\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ です（極限の大小。 (5)）。よって $f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)$ です。$x $\exp''=\exp>0$ なので $\exp$ は凸で、$a=0$ での接線 $y=1+x$ について $e^x\ge1+x$（すべての実数 $x$）です。$\log''(x)=-1/x^2<0$ なので $\log$ は凹で、$a=1$ での接線 $y=x-1$ について $\log x\le x-1$（$x>0$）です。どちらも接点では等号が成り立ちます。 ### 4.3. 第 2 次導関数による極値の判定 増減表を書かなくても、$f'(a)=0$ となる点で $f''(a)$ の符号を見るだけで極大・極小がわかることがあります。その根拠は、$f''(a)$ が $f'$ の微分係数なので、$f''(a)>0$ なら $a$ の近くで $f'$ の符号が $-$ から $+$ に変わる、ということです。 $f$ を開区間 $I$ 上微分可能とし、$a\in I$ で $f'(a)=0$、かつ $f'$ が $a$ で微分可能であるとする。 1. $f''(a)>0$ ならば、ある $\delta>0$ が存在して $0<|x-a|<\delta$ で $f(x)>f(a)$ である（$a$ で極小）。 2. $f''(a)<0$ ならば、ある $\delta>0$ が存在して $0<|x-a|<\delta$ で $f(x) (1) を示します（(2) は $-f$ に (1) を使う）。$f''(a)$ は $f'$ の $a$ における微分係数（）で、$f'(a)=0$ なので $$ f''(a)=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a} $$ です。極限の定義で $\varepsilon=f''(a)/2>0$ とすると、ある $\delta>0$ があって $(a-\delta,a+\delta)\subseteq I$ かつ、$0<|x-a|<\delta$ で $\left|\dfrac{f'(x)}{x-a}-f''(a)\right|<\dfrac{f''(a)}2$、とくに $\dfrac{f'(x)}{x-a}>\dfrac{f''(a)}2>0$ です。したがって $x\in(a-\delta,a)$ では $x-a<0$ なので $f'(x)<0$、$x\in(a,a+\delta)$ では $f'(x)>0$ です。 (2) より、$0<|x-a|<\delta$ で $f(x)>f(a)$ です。 $f''$ が $a$ の近くで連続なら、$f''(a)>0$ から $a$ のある開区間で $f''>0$ となり、 によりそこで $f$ は凸、 により $f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)=f(a)$ です。上の命題は、$f''$ の連続性を仮定せずに、しかも狭義の不等式を出しています。多変数では、$f''(a)$ の代わりにヘッセ行列（2 階の偏導関数を並べた行列）の固有値の符号を見ます（）。 $f''(a)=0$ のときは、この判定では何もわかりません。$f(x)=x^3$ は $f'(0)=f''(0)=0$ で、$0$ で極値をとりません（狭義単調増加）。$f(x)=x^4$ も $f'(0)=f''(0)=0$ ですが、$0$ で極小です（$-x^4$ なら極大）。このときは のように $f'$ の符号の変化を直接調べます。 ## 5. 漸近線 グラフの概形を描くとき、$x\to\infty$ で曲線が直線に限りなく近づくなら、その直線は**漸近線**です。 ### 5.1. 指数関数は多項式より速く増える 漸近線を調べる前に、指数関数と多項式の増え方の比較を示します。これは、$xe^{-x}$ のようなグラフの概形を描くときに必ず使う事実です。 1. 整数 $k\ge0$ について、$x>0$ で $00}}x\log x=0$（定義域を $(0,\infty)$ とした $x\to0$ の極限）。 **(1)** $x\ge0$ で $\exp x=\sum_jx^j/j!$ の項はすべて $0$ 以上なので、$j=k+1$ の項だけを残して $e^x\ge\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!}$ です。$e^{-x}=1/e^x$（ (2)）から $x^ke^{-x}\le\dfrac{(k+1)!}x$ です。$\varepsilon>0$ に対し $M=(k+1)!/\varepsilon$ とすれば、$x>M$ で $0）。 **(2)** $\varepsilon>0$ に対し、(1) の $k=1$ から $M$ があって $t>M$ ならば $te^{-t}<\varepsilon$ です。$x>e^M$ ならば $t=\log x>M$（$\log$ は単調増加）で、$x=e^t$ なので $\dfrac{\log x}x=te^{-t}<\varepsilon$ です。また $0M$ で、$x=e^{-t}$ なので $|x\log x|=te^{-t}<\varepsilon$ です。 ### 5.2. 漸近線の求め方 $f$ を区間 $[c,\infty)$ 上の関数とし、$a,b$ を実数とする。次の 2 条件は同値である。 1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax-b\bigr)=0$（直線 $y=ax+b$ が漸近線）。 2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a$ かつ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr)=b$。 **(1) ならば (2).** $x_n\to\infty$ を任意にとります。$\varepsilon_n=f(x_n)-ax_n-b$ は から $0$ に収束し、また $1/x_n\to0$（$\varepsilon>0$ に対し $x_n>1/\varepsilon$ となる番号から先）です。したがって $\dfrac{f(x_n)}{x_n}=a+\dfrac b{x_n}+\dfrac{\varepsilon_n}{x_n}\to a$、$f(x_n)-ax_n=b+\varepsilon_n\to b$（ (3)）です。数列は任意なので、同じ命題で関数の極限が従います。**(2) ならば (1).** 差の極限 $b-b=0$ です。 実際の求め方は (2) の順です。まず $a=\lim f(x)/x$ を求め、次に $b=\lim(f(x)-ax)$ を求めます。$a$ や $b$ が存在しなければ、その向きの漸近線はありません。$x\to-\infty$ も同様です。 $x>1$ で $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ とすると、$f(x)-(x+1)=\dfrac{x^2+1-(x^2-1)}{x-1}=\dfrac2{x-1}\to0$ です。 (1) から $y=x+1$ が漸近線です（$a=1$、$b=1$）。また $x\to1+$ では、分子が $x^2+1\ge2$ なので $f(x)\ge\dfrac2{x-1}\to\infty$ で、$x=1$ も（縦の）漸近線です。 $f(x)=xe^{-x}$ は、 (1) の $k=1$ から $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ なので、$y=0$ が $x\to\infty$ での漸近線です。$f'(x)=(1-x)e^{-x}$ から、$f$ は $x=1$ で最大値 $e^{-1}$ を取り、$(-\infty,1]$ で増加、$[1,\infty)$ で減少します。$f(0)=0$ で、$x<0$ では $f(x)<0$ です。 ## 6. 3 次関数のグラフ 3 次関数のグラフが、変曲点に関して点対称であること、極値の有無が判別式 $b^2-3ac$ で決まることを証明します。$a>0$ とするのは一般性を失いません（$a<0$ なら $-f$ を考えます）。 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a>0$）とする。任意の $K$ に対しある $M$ があって、$x\ge M$ ならば $f(x)>K$、$x\le-M$ ならば $f(x)<-K$ である。 $s=|b|+|c|+|d|$ とおく。$|x|\ge1$ で $|bx^2+cx+d|\le s\,x^2$ で、$|x|\ge2s/a$ ならば $sx^2\le\frac a2|x|^3$ です。したがって $|x|\ge M_0=\max\left(1,\frac{2s}a\right)$ で $|f(x)-ax^3|\le\frac a2|x|^3$、すなわち $x\ge M_0$ で $f(x)\ge\frac a2x^3$、$x\le-M_0$ で $f(x)\le\frac a2x^3$（負）です。$K$ が与えられたとき $M\ge M_0$ を $\frac a2M^3>|K|$ となるように取れば、主張が成り立ちます。 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a>0$）とし、$x_0=-\dfrac b{3a}$、$D=b^2-3ac$ とする。 1. すべての $h$ に対して $f(x_0+h)+f(x_0-h)=2f(x_0)$。すなわちグラフは点 $(x_0,f(x_0))$ に関して点対称である。$f''(x)<0$（$x0$（$x>x_0$）で、$x_0$ は変曲点である。 2. $D>0$ のとき、$\alpha=\dfrac{-b-\sqrt D}{3a}<\beta=\dfrac{-b+\sqrt D}{3a}$ とおくと $f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta)$ で、$f$ は $(-\infty,\alpha]$ で狭義単調増加、$[\alpha,\beta]$ で狭義単調減少、$[\beta,\infty)$ で狭義単調増加である。$f(\alpha)$ は極大値、$f(\beta)$ は極小値である。 3. $D\le0$ のとき、$f$ は $\mathbb R$ 上で狭義単調増加である（極値を持たない）。 **(1)** 展開すると $$ f(x_0+h)=ah^3+(3ax_0+b)h^2+(3ax_0^2+2bx_0+c)h+f(x_0) $$ で、$3ax_0+b=0$ より $h^2$ の係数は $0$、$h$ の係数は $f'(x_0)$ です。したがって $f(x_0+h)-f(x_0)=ah^3+f'(x_0)h$ は $h$ の奇関数で、$f(x_0+h)+f(x_0-h)=2f(x_0)$ です。また $f''(x)=6ax+2b=6a(x-x_0)$ です。 **(2)(3)** $f'(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x-x_0)^2-\dfrac D{3a}$ と平方完成できます。$D>0$ のとき、$f'$ の 2 つの零点は $x_0\pm\dfrac{\sqrt D}{3a}$、すなわち $\alpha,\beta$ で、$f'=3a(x-\alpha)(x-\beta)$ です。したがって $f'>0$（$x<\alpha$ または $x>\beta$）、$f'<0$（$\alpha (3) から従います。極大・極小は です。$D\le0$ のとき、$f'(x)\ge0$ で、$f'(x)=0$ となる $x$ は（$D=0$ のときの $x_0$ 以外）ありません。$f$ は連続で単調増加（ (2)）であり、$x ## 7. 方程式の実数解の個数 ### 7.1. 単調な区間に分けて数える グラフの増減がわかれば、方程式 $f(x)=k$ の解の個数が数えられます。その根拠は次のとおりです。 $-\infty\le p_0 各 $I_i$ で $f$ は狭義単調なので単射で、$f(x)=k$ の解は高々 1 つです。$k\in f(I_i)$ なら（定義から）ちょうど 1 つあります。$I$ 全体の解の個数は、各 $I_i$ の解の個数を足して、2 つの区間に重複して数えられた解を引いたものです。区間 $I_i$ と $I_{i+1}$ が共有する点は $p_i$ だけなので、重複して数えられるのは、$f(p_i)=k$ となる分点 $p_i$ が解であるときで、そのときだけ 1 回引けばよいのです。値域が端点の値で挟まれた区間であることは、中間値の定理（）と単調性から従います。 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a>0$）とし、$D=b^2-3ac$ とする。$f(x)=0$ の相異なる実数解の個数は次のとおりである。 1. $D\le0$ のとき $1$ 個。 2. $D>0$ のとき（極大値 $f(\alpha)$、極小値 $f(\beta)$。）：$f(\alpha)>0>f(\beta)$ なら $3$ 個、$f(\alpha)f(\beta)=0$ なら $2$ 個（片方は重解）、$f(\alpha)<0$ または $f(\beta)>0$ なら $1$ 個。 $D\le0$ のとき $f$ は $\mathbb R$ で狭義単調増加で、 と中間値の定理から値域は $\mathbb R$ なので、$f(x)=0$ はちょうど 1 つ解を持ちます。$D>0$ のとき、$I_1=(-\infty,\alpha]$、$I_2=[\alpha,\beta]$、$I_3=[\beta,\infty)$ に を使います。値域は から $f(I_1)=(-\infty,f(\alpha)]$、$f(I_2)=[f(\beta),f(\alpha)]$（$f(\alpha)>f(\beta)$）、$f(I_3)=[f(\beta),\infty)$ です。$k=0$ について、(i) $f(\alpha)>0>f(\beta)$ のとき $0$ は 3 つの値域すべてに入り、分点 $\alpha,\beta$ での値は $0$ でないので $3$ 個。(ii) $f(\alpha)=0$（このとき $f(\beta)<0$）のとき、3 つとも入り、分点 $\alpha$ が解なので $3-1=2$ 個。$f(\beta)=0$（$f(\alpha)>0$）のときも同様に $2$ 個。(iii) $f(\alpha)<0$ のとき $f(\beta)0$ のとき $f(\alpha)>f(\beta)>0$ で入るのは $f(I_1)$ だけなので、どちらも $1$ 個です。 $x^3-3x+1=0$：$a=1$、$b=0$、$c=-3$、$D=9>0$、$\alpha=-1$、$\beta=1$。$f(-1)=3>0>f(1)=-1$ なので、相異なる実数解は 3 個です（[極限と連続性の記事](/mathematics/hs-analysis/limits) の 3 次方程式の例と同じ結論）。$x^3-3x+2=0$：$f(-1)=4$、$f(1)=0$ なので $2$ 個で、実際 $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ です。 ### 7.2. 定数分離 「$f(x)=k$ の解の個数」を、グラフ $y=f(x)$ と水平線 $y=k$ の交点の個数と読む方法を**定数分離**といいます。 $x=0$ は解でない（$e^0=1\ne0$）ので、$k=q(x)=e^x/x$ の解の個数を数えます。$q'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$ です。 **$x>0$。** $q$ は $(0,1]$ で狭義単調減少、$[1,\infty)$ で狭義単調増加で、$q(1)=e$。$x\to0+$ で $q(x)\ge1/x\to\infty$（$e^x\ge1$）、$x\to\infty$ で $q(x)\ge x/2\to\infty$（$e^x\ge x^2/2$。）なので、$q((0,1])=[e,\infty)$、$q([1,\infty))=[e,\infty)$ です。 から、$k>e$ なら $2$ 個、$k=e$ なら $2-1=1$ 個、$k\frac12$（）で、$x<0$ で割ると向きが変わるので $q(x)<\dfrac1{2x}\to-\infty$（$x\to0-$）です。よって値域は $(-\infty,0)$ で、（$m=1$、端点 $0$ は除く）から $k<0$ なら $1$ 個、$k\ge0$ なら $0$ 個です。 まとめると、実数解の個数は $k<0$ で $1$、$0\le ke$ で $2$ です。 ## 8. 平均値の定理による評価 平均値の定理は、導関数の情報を関数の値の差の評価に変えます。次の 3 つが使いやすい形です。 $f,g$ を $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能とする。 1. $(a,b)$ で $m\le f'\le M$ ならば、$a\le x **(1)** $[x,y]$ に平均値の定理（）を使うと、$f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x)$（$x<\xi (2)）で、$h(x)\ge h(a)\ge0$ です。**(3)** $\log$ に平均値の定理（）を使います：$\log b-\log a=\dfrac{b-a}\xi$（$a<\xi $x>0$ に (3) を $a=1$、$b=1+x$ として使うと $\dfrac x{1+x}<\log(1+x) $f(x)=\sin x$、$g(x)=x$ とすると $f(0)=0=g(0)$、$f'(x)=\cos x\le1=g'(x)$（）なので、 (2) から $[0,b]$（$b>0$ は任意）で $\sin x\le x$ です。 ### 8.1. テイラーの定理による近似 テイラーの定理（）は、平均値の定理の高次への拡張で、関数を多項式で近似し、誤差を評価します。 $f=\exp$ は何回でも微分可能で $f^{(k)}=\exp$ です。$a=0$、$x=1$ としてテイラーの定理を使うと、ある $c\in(0,1)$ があって $$ e=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}+\frac{e^c}{(n+1)!} $$ です。$e^c ## 9. 一般二項定理 高校では、二項定理 $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^k$ を自然数 $n$ について習います。指数を実数 $\alpha$ にした $(1+x)^\alpha$ を、$x$ の無限級数に展開できるか、という問題を考えます。係数には、$n$ 個から $k$ 個を選ぶ選び方の数である二項係数を、$n$ が整数でない場合に広げたものが現れます。 次の定理の証明は、右辺の級数を $S(x)$ とおき、(a) $S$ が微分できること、(b) $(1+x)S'=\alpha S$ を満たすこと、(c) $S(x)(1+x)^{-\alpha}$ が定数になること、の 3 段階で進みます。 実数 $\alpha$ と整数 $k\ge0$ に対し $$ \binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}\quad(k\ge1),\qquad\binom\alpha0=1 $$ と定める。$\alpha=n$ が非負整数のとき、これは通常の二項係数 $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$（）に等しく、$k>n$ では $0$ である。 $\alpha$ を実数、$|x|<1$ とする。このとき $$ (1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\binom\alpha kx^k $$ が成り立つ（右辺は絶対収束する）。 $\alpha$ が非負整数 $n$ のときは、右辺は有限和で、二項定理（）そのものです。以下、$\alpha$ は非負整数でないとし、$a_k=\binom\alpha k$ とおきます。このとき、すべての $k$ で $a_k\ne0$、 $$ (k+1)a_{k+1}=(\alpha-k)\,a_k\qquad(k\ge0) $$ が成り立ちます（定義から）。 **収束と項別微分。** $0<\rho<1$ を取り、$|x|\le\rho$ で考えます。項の比 $\dfrac{|a_{k+1}x^{k+1}|}{|a_kx^k|}=\dfrac{|\alpha-k|}{k+1}|x|\to|x|<1$ なので、比判定法（）から $S(x)=\sum a_kx^k$ は絶対収束します。導関数の級数 $\sum_{k\ge1}ka_kx^{k-1}$ についても、項の比は同じ理由で $\rho$ に近づくので、$M_k=k|a_k|\rho^{k-1}$ も $\sum M_k<\infty$（比判定法）であり、M 判定法（）により $S_N(x)=\sum_{k\le N}a_kx^k$ の導関数 $S_N'$ は $[-\rho,\rho]$ 上で[一様収束](/mathematics/real-analysis/uniform-convergence#def-uniform)します。項別微分（）から、$S$ は $(-\rho,\rho)$ で微分可能で $S'(x)=\sum_{k\ge1}ka_kx^{k-1}$ です。 **微分方程式。** $(1+x)S'(x)=\alpha S(x)$ を示します。収束する 2 つの級数を項ごとに足すと $$ (1+x)S'(x)=\sum_{j\ge0}(j+1)a_{j+1}x^j+\sum_{j\ge0}ja_jx^j=\sum_{j\ge0}\bigl[(j+1)a_{j+1}+ja_j\bigr]x^j=\sum_{j\ge0}\alpha a_jx^j=\alpha S(x) $$ です（上の漸化式 $(j+1)a_{j+1}=(\alpha-j)a_j$ を使った）。 **一意性。** $h(x)=S(x)\,(1+x)^{-\alpha}$（$-1 (2) と連鎖律から $\dfrac{d}{dx}(1+x)^{-\alpha}=-\alpha(1+x)^{-\alpha-1}$ です。積の法則で $$ h'(x)=S'(x)(1+x)^{-\alpha}-\alpha S(x)(1+x)^{-\alpha-1}=(1+x)^{-\alpha-1}\bigl[(1+x)S'(x)-\alpha S(x)\bigr]=0 $$ です。$h$ は $(-\rho,\rho)$ 上で定数（ (1)）で、$h(0)=S(0)=1$ です。したがって $S(x)=(1+x)^\alpha$（$|x|<\rho$）で、$\rho<1$ は任意です。 $\alpha=\frac12$：$\binom{1/2}1=\frac12$、$\binom{1/2}2=\frac{(1/2)(-1/2)}2=-\frac18$、$\binom{1/2}3=\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}6=\frac1{16}$ なので、$|x|<1$ で $$ \sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\cdots $$ です。$\alpha=-1$：$\binom{-1}k=(-1)^k$ なので $\dfrac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots$ で、等比級数の和の公式（）を再現します。$\alpha=-\frac12$ で $x$ を $-x$ に替えると $\dfrac1{\sqrt{1-x}}=1+\dfrac x2+\dfrac{3x^2}8+\cdots$ で、$x=0.01$ とすると $1/\sqrt{0.99}\approx1+0.005+0.0000375=1.0050375$ です（実際の値 $1.00503782\cdots$）。 ## 10. 累乗の塔の収束 最後に、少し変わった問題として、**累乗の塔** $$ x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} $$ を調べます。$x>0$ に対し、数列 $a_1=x$、$a_{n+1}=x^{a_n}$ を考えると、$a_2=x^x$、$a_3=x^{x^x}$、… で、これが塔の「下から $n$ 階分」です。$x=\sqrt2$ のときは $a_n\to2$ のようです（$\sqrt2^2=2$ だから、極限が存在すれば不動点 $2$ のはず。不動点とは $x^L=L$ のように、操作を施しても変わらない値のことです）。どの $x$ で収束するのでしょうか。 ### 10.1. 準備 $t>0$ ならば $\log t\le t/e$、すなわち $\dfrac{\log t}t\le\dfrac1e$ である。等号は $t=e$ のときだけ成り立つ。 $g(t)=\log t-t/e$ とおくと $g'(t)=\dfrac1t-\dfrac1e$ は $0e$ で負です。したがって $g$ は $(0,e]$ で狭義単調増加、$[e,\infty)$ で狭義単調減少で（ (3)）、$g(t)\le g(e)=\log e-1=0$、等号は $t=e$ のときだけです。 次の補題の目標は、底が 1 より小さい $x$ で反復 $a_{n+1}=x^{a_n}$ が 2 つの値を行き来して収束しなくなることが、どの範囲で起きないかを決めることです。証明は、そのような 2 つの値 $s,u$ があったと仮定して $y\le e$ との矛盾を導く形で、場合分けが続きますが、使うのは $t\log t$ の増減と、$m(c)>0$ という 1 つの不等式だけです。 底が 1 より小さいとき、$f(t)=x^t$ は減少関数で、$f\circ f$ は増加関数です。そのとき $f$ の「2 周期点」（$f(s)=u$、$f(u)=s$、$s\ne u$）が現れなければ収束します。次の補題は、それが現れない範囲を決めます。 $0 $s\ne u$ と仮定して矛盾を導きます。$\log s=u\log x$、$\log u=s\log x$ を、それぞれ $s$、$u$ 倍して $s\log s=su\log x=u\log u$ を得ます。$w(t)=t\log t$ とおくと $w'(t)=\log t+1$ で、$w$ は $(0,1/e]$ で狭義単調減少、$[1/e,1)$ で狭義単調増加です（ (3)）。$w(s)=w(u)$、$s\ne u$ なので、$s,u$ は $1/e$ をはさんで反対側にあり、$s<1/e1$ で、$\log s=u\log x$ から $c=yu$、すなわち $y=c/u$ です。$y\le e$ とは $u\ge c/e$ のことなので、これが矛盾することを示します。 $c\ge e$ のとき：$u<1\le c/e$ で、$u\ge c/e$ に反します。$10 $$ と同値です。$m(1)=0$、$m'(c)=\dfrac1c-e^{1-c}$ で、$c>1$ では $e^{c-1}=\sum(c-1)^j/j!>1+(c-1)=c$（級数の項が正でさらに $j\ge2$ の項がある）なので $e^{1-c}<1/c$、すなわち $m'(c)>0$ です。したがって $m$ は $[1,\infty)$ で狭義単調増加で、$c>1$ で $m(c)>0$ です。よって $ue$ となり、$y\le e$ に反します。 ### 10.2. 収束する範囲 $x>0$ とし、$a_1=x$、$a_{n+1}=x^{a_n}$ とする。数列 $(a_n)$ が収束するための必要十分条件は $$ e^{-e}\le x\le e^{1/e} $$ である。収束するとき、極限 $L$ は方程式 $x^L=L$ の解である。 $f(t)=x^t=\exp(t\log x)$（$t>0$）とします。$f$ は連続で、$a_{n+1}=f(a_n)$ です。すべての $n$ で $a_n\ge\min(x,1)>0$ です（$x\ge1$ なら $x^{a_n}\ge1$。$x<1$ のときは下の (iii) の議論で $a_n\in[x,1)$）。したがって $(a_n)$ が収束するならば、極限 $L$ は正で、$f$ は $L$ で連続なので $a_{n+1}=f(a_n)\to f(L)$（ (1)）、極限の一意性から $f(L)=L$、すなわち $x^L=L$ です。$x=1$ は $a_n=1$ で収束します。 **(i) $10$ なので $f$ は増加で、$f(I)\subseteq[f(1),f(e)]=[x,x^e]$ です。$x\ge1$、かつ $\log x\le1/e$ から $x^e=\exp(e\log x)\le\exp1=e$ なので $f(I)\subseteq I$ です。$a_1=x\in I$ なので、 (2) により $(a_n)$ は収束します。 **(ii) $x>e^{1/e}$ のとき発散する。** $\log x>1/e$ で、 から $t>0$ で $\dfrac{\log t}t\le\dfrac1e<\log x$、すなわち $t\log x>\log t$、$x^t>t$ です。したがって $a_{n+1}=x^{a_n}>a_n$（$a_n>0$）で、$(a_n)$ は狭義単調増加です。もし収束するなら、極限 $L>0$ は $x^L=L$ を満たしますが、$x^L>L$ に反します。よって収束せず（単調増加なので $\infty$ に発散）です。 **(iii) $e^{-e}\le x<1$ のとき収束する。** $y=-\log x\in(0,e]$ です。$a_n\in(0,1)$（$a_1=x$、$a_n>0$ なら $0x^1=x$、すなわち $a_n\ge x>0$ です。$f$ は狭義単調減少で、$h=f\circ f$ は増加です。$a_{2n+1}=h(a_{2n-1})$ なので、奇数番目の[部分列](/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy#def-subsequence) $(a_{2n-1})$ は単調です（$a_3\ge a_1$ なら帰納的に $a_{2n+3}=h(a_{2n+1})\ge h(a_{2n-1})=a_{2n+1}$、$a_3\le a_1$ なら逆）。有界なので、単調有界定理（）で $L_1$ に収束します。$f$ の連続性から $a_{2n}=f(a_{2n-1})\to f(L_1)=:L_2$、$a_{2n+1}=f(a_{2n})\to f(L_2)$ なので $f(L_2)=L_1$ です。$x\le L_1\le1$ で、$L_1=1$ とすると $f(f(1))=x^x=1$ となって $x=1$ に反するので $L_1<1$ です。$s=L_1$、$u=L_2$ は $(0,1)$ の点で $x^u=s$、$x^s=u$ を満たすので、 から $s=u$ です。したがって奇数番目と偶数番目の部分列が同じ極限に収束し、$(a_n)$ 全体が収束します（$\varepsilon>0$ に対し、両方の部分列の番号を取れば、それより先のすべての $n$ で $|a_n-L_1|<\varepsilon$）。 **(iv) $0e$ とし、$(a_n)$ が収束すると仮定して矛盾を導きます。(iii) と同様に $a_n\in[x,1)$ で、極限 $L\in[x,1]$ は $f(L)=L$ を満たします。$f(1)=x\ne1$ なので $L<1$ です。$f(L)=L$ から $e^{-yL}=L$、すなわち $-\log L/L=y>e$ です。関数 $t\mapsto-\log t/t$ は $(0,e)$ で狭義単調減少（導関数 $(\log t-1)/t^2<0$）で、$t=1/e$ で値 $e$ を取るので、$L<1/e$ です。したがって $yL=-\log L>1$ です。 $f'(t)=-yf(t)$ は連続で、$|f'(L)|=yL>1$ なので、$\rho=\dfrac{1+yL}2>1$ とすると、$\delta>0$ があって $|t-L|<\delta$ ならば $|f'(t)|>\rho$ です。$a_n\to L$ なので、$N$ があってすべての $n\ge N$ で $|a_n-L|<\delta$ です。$n\ge N$ で、平均値の定理（）から $$ |a_{n+1}-L|=|f(a_n)-f(L)|=|f'(\xi)|\,|a_n-L|>\rho\,|a_n-L| $$ （$\xi$ は $a_n$ と $L$ の間）で、$a_n\ne L$ ならば帰納的に $|a_{N+m}-L|>\rho^m|a_N-L|$ です。$a_n=L$ となる $n$ は存在しません（$a_n=L=f(L)$ なら $f$ の単射性から $a_{n-1}=L$、…、$a_1=x=L$ で、$x^x=x$、すなわち $x=1$ となって矛盾）。ところが $\rho^m\ge1+m(\rho-1)\to\infty$ （）で、$|a_{N+m}-L|<\delta$ に反します。 $x=\sqrt2$ は $1<\sqrt2 から収束し、極限 $L$ は $(\sqrt2)^L=L$ の解です。$a_{n+1}=(\sqrt2)^{a_n}<(\sqrt2)^2=2$ から（帰納法で）$a_n<2$ なので $L\le2$ です。方程式 $(\sqrt2)^L=L$ は、両辺の対数を取って $g(L)=\frac{\log2}2L-\log L=0$ です。$g''(t)=1/t^2>0$ なので $g'$ は狭義単調増加で、ロルの定理（）から $g$ の零点は高々 2 個です。$g(2)=g(4)=0$ なので零点は $2$ と $4$ だけで、$L\le2$ から $L=2$ です。$x=e^{1/e}$ のときは、$x^L=L$ すなわち $\dfrac{\log L}L=\dfrac1e$ で、 の等号条件から $L=e$ だけです。$x=e^{-e}$（$=0.0659\cdots$）のときも収束し、極限は $L=1/e$ です（$(e^{-e})^{1/e}=e^{-1}$ なので不動点で、$t\mapsto t-x^t$ は狭義単調増加なので不動点は 1 つだけ）。 ## 11. 大学ではどこへ続くか - **平均値の定理とテイラーの定理。** この記事で使った平均値の定理は、[平均値の定理とテイラーの定理](/mathematics/calculus/mean-value-and-taylor) で定義から証明され、ロピタルの定理・テイラー展開へと続きます。 - **凸解析。** 凸関数の定義（）を多変数・無限次元に広げた理論が [凸解析](/mathematics/real-analysis/convex-analysis) です。「接線がグラフの下にある」（）は、劣勾配の理論の最初の例です。 - **陰関数定理・多変数の微分。** の一般形、条件付き極値のラグランジュの乗数法は [逆関数定理と陰関数定理](/mathematics/calculus/inverse-implicit-functions) です。 - **べき級数と解析関数。** 一般二項定理は、収束円板の中で関数をべき級数に展開する一例で、複素関数論（[複素数と複素平面](/mathematics/complex-analysis/complex-numbers) の続き）につながります。 - **力学系。** 累乗の塔は、1 次元の反復写像 $a_{n+1}=f(a_n)$ の最も簡単な例で、不動点の安定性（$|f'|<1$）や 2 周期点の分岐が現れます。 ## 12. 演習 $x>0$ で $f(x)=x^{1/x}$ の最大値と、それを与える $x$ を求めよ。 $f(x)=\exp\left(\dfrac{\log x}x\right)$ で、 または連鎖律から $f'(x)=f(x)\cdot\dfrac{1-\log x}{x^2}$ である。$f>0$ なので、$f'$ の符号は $1-\log x$ の符号で、$(0,e)$ で正、$(e,\infty)$ で負。したがって $f$ は $(0,e]$ で狭義単調増加、$[e,\infty)$ で狭義単調減少（ (3)）で、$x=e$ で最大値 $f(e)=e^{1/e}$ を取る。 $\exp$ が凸であること（$\exp''=\exp>0$）を使って、正の実数 $x,y$ に対し $\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}2$ を示せ。 $\exp''=\exp>0$ なので、 から $\exp$ は凸である。$a=\log x$、$b=\log y$、$\lambda=\frac12$ として定義（）を使うと $\exp\left(\frac{a+b}2\right)\le\frac{\exp a+\exp b}2=\frac{x+y}2$。左辺は $\exp\left(\frac12\log(xy)\right)=(xy)^{1/2}=\sqrt{xy}$（ と (2)）である。 $\dfrac1{\sqrt{1-x}}$ の $x$ の 2 次までの展開を、 から求めよ。 $\alpha=-\frac12$、$x$ を $-x$ に替える。$\binom{-1/2}1=-\frac12$、$\binom{-1/2}2=\frac{(-1/2)(-3/2)}2=\frac38$ なので、$(1+(-x))^{-1/2}=1+\left(-\frac12\right)(-x)+\frac38(-x)^2+\cdots=1+\frac x2+\frac{3x^2}8+\cdots$ である（$|x|<1$）。 ## 参考文献 - 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 微分法の章（平均値の定理・テイラーの定理・凸関数）。 - W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 5（微分）、Chapter 8（べき級数）。 - J. Knoebel, "Exponentials reiterated", *The American Mathematical Monthly* 88 (1981), 235–252 — 累乗の塔の収束。 - 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 微分法の章（凸関数・二項級数）。