基本関数の導関数

命題 2.1（「微分法とその応用」§2）・ ✓公理まで証明済み

整数 $n$ について $(x^n)'=nx^{n-1}$ （ $n<0$ のときは $x\ne0$ ）。
実数 $\alpha$ について、 $x>0$ で $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ 。
$a>0$ について $(a^x)'=a^x\log a$ （ $x\in\mathbb R$ ）。
$x\ne0$ で $(\log|x|)'=\dfrac1x$ 。 $a>0$ 、 $a\ne1$ について、 $x>0$ で $(\log_ax)'=\dfrac1{x\log a}$ 。
$\cos x\ne0$ で $(\tan x)'=\dfrac1{\cos^2x}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 79 件、定義なども含めて 93 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法（上で展開済み）
微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
- 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
$a^x =$ exp(x log a)✓定理 4.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定この先をたどる →
  - ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
  - 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
- 累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数
  - 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
  - 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
- 実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる✓定理 3.4・指数関数と対数関数
  - 有理数の稠密性✓命題 5.5・数とは何かこの先をたどる →
  - 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数（上で展開済み）
  - 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - $a^{1/n}$ の極限✓補題 3.2・指数関数と対数関数この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
- 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数
- 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数
  - 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
  - 累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- 実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる✓定理 3.4・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
自然対数の性質✓定理 4.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- exp 1 = e✓系 3.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - e の級数表示✓定理 4.2・数列と関数の極限この先をたどる →
- 指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
底の変換公式✓定理 5.4・指数関数と対数関数
- 対数の性質✓定理 5.3・指数関数と対数関数この先をたどる →
三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法（上で展開済み）
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

p 級数✓系 5.2・級数と収束判定
一般二項定理✓定理 9.2・微分法とその応用
基本的な関数の原始関数✓命題 2.1・積分法
有理関数の不定積分✓系 3.5・積分法

基本関数の導関数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件