実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる

定理 3.4（「指数関数と対数関数」§3）・ ✓公理まで証明済み

$a>0$ とする。

$a^x$ は任意の実数 $x$ に対し定まる正の実数である。 $x$ が有理数のときは、定義 3.3 と §2.3 の定義は一致する。
$x\in\mathbb R$ に収束する任意の有理数列 $(r_n)$ に対し、 $a^{r_n}\to a^x$ である。とくに、極限は近似列のとり方によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有理数の稠密性✓命題 5.5・数とは何か
- アルキメデスの原理✓命題 5.4・数とは何か
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数
- 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
- 累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数
  - 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
  - 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
$a^{1/n}$ の極限✓補題 3.2・指数関数と対数関数
- 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- ベルヌーイの不等式✓補題 3.1・指数関数と対数関数
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限

これを使っている定理証明で参照している 3 件

$a^x =$ exp(x log a)✓定理 4.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数
指数法則（累乗の累乗）✓命題 4.4・指数関数と対数関数

実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

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これを使っている定理証明で参照している 3 件