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有理数の指数の定義と指数法則

定理 2.3（「指数関数と対数関数」§2）・ ✓公理まで証明済み

$a,b>0$ 、 $r,s$ を有理数とする。

$a^r$ は $r$ の分数表示によらずに定まる。
$a^ra^s=a^{r+s}$ 、 $(a^r)^s=a^{rs}$ 、 $(ab)^r=a^rb^r$ 。
$a>1$ かつ $r<s$ ならば $a^r<a^s$ 。また $a>1$ で $r>0$ ならば $a^r>1$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数
- 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
  - 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性この先をたどる →
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数

これを使っている定理証明で参照している 4 件

$a^{1/n}$ の極限✓補題 3.2・指数関数と対数関数
実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる✓定理 3.4・指数関数と対数関数
実数の指数の単調性✓補題 4.1・指数関数と対数関数
実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数

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