対数の性質

定理 5.3（「指数関数と対数関数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$a>0$ 、 $a\ne1$ 、 $y,z>0$ 、 $t\in\mathbb R$ とする。

$\log_a1=0$ 、 $\log_aa=1$ 。
$\log_a(yz)=\log_ay+\log_az$ 。
$\log_a(y^t)=t\log_ay$ 。とくに $\log_a(1/y)=-\log_ay$ 。
$a>1$ なら $y<z\Rightarrow\log_ay<\log_az$ 、 $0<a<1$ なら不等号の向きが逆になる。
$y\mapsto\log_ay$ は $(0,\infty)$ 上連続である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数
- 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数
  - 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
  - 累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- 実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる✓定理 3.4・指数関数と対数関数
  - 有理数の稠密性✓命題 5.5・数とは何か
    アルキメデスの原理✓命題 5.4・数とは何かこの先をたどる →
  - 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数（上で展開済み）
  - 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - $a^{1/n}$ の極限✓補題 3.2・指数関数と対数関数（上で展開済み）
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
指数法則（累乗の累乗）✓命題 4.4・指数関数と対数関数
- 実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- 累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数
  - 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
  - 整数の指数法則✓補題 2.1・指数関数と対数関数
- 実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる✓定理 3.4・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- 指数関数の単調性・連続性・値域✓命題 4.3・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
指数関数の単調性・連続性・値域✓命題 4.3・指数関数と対数関数
- 実数の指数の単調性✓補題 4.1・指数関数と対数関数
  - 有理数の稠密性✓命題 5.5・数とは何か（上で展開済み）
  - 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- $a^{1/n}$ の極限✓補題 3.2・指数関数と対数関数
  - 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数（上で展開済み）
  - ベルヌーイの不等式✓補題 3.1・指数関数と対数関数
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数（上で展開済み）
- 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
- ベルヌーイの不等式✓補題 3.1・指数関数と対数関数
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

底の変換公式✓定理 5.4・指数関数と対数関数
桁数と最高位の数字✓命題 6.1・指数関数と対数関数

対数の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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関連するノック 8 問

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