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有理関数の不定積分

系 3.5（「積分法」§3） ・ ✓公理まで証明済み

真分数式の部分分数分解に現れる各項は、次のとおり原始関数を持つ。ここで r(x)=x2+px+qr(x)=x^2+px+q、d=q−p2/4>0d=\sqrt{q-p^2/4}>0、u=x+p/2u=x+p/2 とおく。

  1. ∫dxx−α=log⁡∣x−α∣\displaystyle\int\frac{dx}{x-\alpha}=\log|x-\alpha|、k≥2k\ge2 で ∫dx(x−α)k=(x−α)1−k1−k\displaystyle\int\frac{dx}{(x-\alpha)^k}=\frac{(x-\alpha)^{1-k}}{1-k}。
  2. ∫2x+pr(x)dx=log⁡r(x)\displaystyle\int\frac{2x+p}{r(x)}dx=\log r(x)、k≥2k\ge2 で ∫2x+pr(x)kdx=r(x)1−k1−k\displaystyle\int\frac{2x+p}{r(x)^k}dx=\frac{r(x)^{1-k}}{1-k}。
  3. Jk(x)=∫dxr(x)kJ_k(x)=\displaystyle\int\frac{dx}{r(x)^k} は、J1=1darctan⁡udJ_1=\dfrac1d\arctan\dfrac ud、Jk+1=12kd2(urk+(2k−1)Jk)J_{k+1}=\dfrac1{2kd^2}\left(\dfrac u{r^k}+(2k-1)J_k\right)（k≥1k\ge1）で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 97 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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