単調な区間ごとの解の個数

$-\infty\le p_0<p_1<\cdots<p_m\le+\infty$ とし、$I_i=\{x\in\mathbb R:\ p_{i-1}\le x\le p_i\}$（$i=1,\dots,m$）、$I=I_1\cup\cdots\cup I_m$ とする。内側の分点 $p_1,\dots,p_{m-1}$ は区間に含める。両端 $p_0,p_m$ が有限のとき、そこで $f$ が定義されていなければ（たとえば $1/x$ の $x=0$）、その端点は除いて $I_1,I_m$ を考える。$f$ が $I$ で連続で、各 $I_i$ で狭義単調であるとする。このとき、実数 $k$ について

である。ここで $f(I_i)$ は $I_i$ での値域であり、連続で狭義単調な関数の値域は端点の値（または $\pm\infty$ への極限）で挟まれた区間である。