# 指数・対数・三角関数をきちんと定義する：級数から出発して π と弧の長さまで > 指数関数・三角関数を幾何を使わずにべき級数で定義し、加法定理・π の定義・周期性・単位円の媒介変数表示を導く。弧の長さが θ になることも定理として証明し、循環論法を断つ。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-analysis/elementary-functions ## 0. この記事の要点 $\sin$ や $\pi$ は、高校では図形（円や角）を使って決めます。ところが、その説明をたどると、定義と証明がぐるぐる回っていることに気づきます。この記事は、図形を使わず、無限に足し算を続ける式だけから $e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\pi$ を作り直し、高校で使ってきた公式が本当に成り立つことを順に確かめます。読み終えると、「弧度法でなぜ弧の長さが角になるのか」を循環なしに説明できるようになります。 - 高校の教科書では、$\sin x$ を単位円で、$\pi$ を円周の長さで、角の大きさ（弧度）を弧の長さで定義します。ところが、$\sin x/x\to1$ の証明には「扇形の面積」を、扇形の面積や弧の長さの公式には微分積分を、微分積分の計算には $\sin$ の導関数を使っており、**定義と定理が輪になっています**。この記事は、その輪を断ち切る方法を示します。 - 方法は、幾何を一切使わずに**べき級数だけから**指数関数 $\exp$、余弦 $\cos$、正弦 $\sin$ を定義することです。そこから、加法定理、$\cos^2+\sin^2=1$、$\pi$ の定義（$\cos$ の最小の正の零点の 2 倍）、周期性、単位円の媒介変数表示 $\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ が全単射であることを、順に証明します。 - そのあとで初めて幾何に戻り、曲線の長さを積分で定義すると**単位円の弧の長さがちょうど $\theta$ になる**こと、**扇形の面積が $\theta/2$ になる**ことを定理として証明します。これで「弧度法」が正当化されます。 - [対数](/mathematics/hs-analysis/exponential-logarithm#def-log)は $\exp$ の逆関数、一般の指数 $a^x$ は $\exp(x\log a)$ と一致することを示し、$1^\infty$ 型の極限 $\lim(1+a_n)^{b_n}=\exp(\lim a_nb_n)$ を証明します。 - 逆三角関数・Machin の公式による $\pi$ の評価・双曲線関数・微分方程式 $y'=y$、$y''=-y$ の解の一意性も証明します。後の記事（三角関数・平面ベクトル・合同と相似・三角比）は、この記事の定理を根にします。 ## 1. 動機：「定義」と「証明」が輪になっていないか 高校で次のように習ったことを思い出してください。 1. 角の大きさは弧度法で測る。半径 $1$ の円の弧の長さが $\theta$ になる角を $\theta$ ラジアンとする。 2. 単位円周上の点を $(\cos\theta,\sin\theta)$ と書く。 3. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$。（扇形の面積と三角形の面積を比べるはさみうちで証明する。） 4. したがって $(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$。 5. 円の面積 $\pi r^2$ や扇形の面積 $\tfrac12r^2\theta$、曲線の長さは積分で計算する。 3 で使う「扇形の面積は $\theta/2$」は、5 の積分を使えば（極座標の積分で）証明できますが、その積分は 4 の導関数（あるいは $\int\cos$ の計算）を使います。つまり、**3 → 4 → 5 → 3** と輪になっています。高校ではこの輪を見ないふりをして進みますが、論理的には「どれが定義でどれが定理か」を決め直さないと、最初の一歩が踏めません。
高校の説明：輪になる 扇形の面積 sin x / x → 1 sin の導関数 積分の計算 どれも他を使って証明している この記事：一方通行 べき級数（定義） exp・cos・sin 加法定理・π 単位円の媒介変数 弧の長さ = θ 扇形 = θ/2
この記事の方針は、次の 3 点です。 - **定義は級数**にします。$\exp x=\sum x^k/k!$、$\cos x=\sum(-1)^kx^{2k}/(2k)!$、$\sin x=\sum(-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)!$。無限和の収束と微分は、大学の解析の定理（級数・一様収束）で保証されます。ここに図形は現れません。 - **$\pi$ は $\cos$ の零点**として定義します。円周の長さではありません。 - **幾何は最後**です。弧の長さと面積の定義（積分）を決めて、そこから「弧の長さ $=\theta$」「扇形の面積 $=\theta/2$」を**導きます**。これらは定義でなく定理です。 高校で教わる直観的な説明（回転による加法定理、扇形による $\sin x/x\to1$）は、各所の「高校での説明」に残しますが、その説明は証明では使いません。 ## 2. 使う既存の結果 この記事の証明は、次のものだけを使います。いずれも [微分積分学](/mathematics/calculus/limits-and-continuity) などの記事で証明されています。 | 用途 | 結果 | |---|---| | 級数の収束 | 比判定法（）、比較判定法（）、ライプニッツの判定法（）、絶対収束は収束（） | | [一様収束](/mathematics/real-analysis/uniform-convergence#def-uniform)と微分 | M 判定法（）、項別微分（） | | 複素数の指数法則 | | | 微分 | 積の法則・商の法則（）、連鎖律（）、逆関数の微分（） | | 平均値の定理 | 導関数の符号と単調性（） | | 連続関数 | 中間値の定理（） | | 積分 | 微分積分学の基本定理（）、重積分の変数変換（） | 表の中の二つの道具は、次の内容です（以下の証明で使う形での言い換えです）。M 判定法は、各項の絶対値が正の定数 $M_k$ 以下で、$\sum M_k$ が収束するなら、その関数の級数は一様収束する、というものです。項別微分は、各項を微分した関数の列が一様収束し、元の関数の列がどこか 1 点で収束するなら、極限の関数は微分可能で、その導関数は「各項を微分したものの極限」になる、というものです。つまり、無限に足す式でも、項ごとに微分してよい条件を与えます。 なお、微積分の記事 [導関数の定義と基本的な微分法](/mathematics/calculus/derivatives) の $\sin x/x\to1$ と三角関数・指数関数の導関数は、この記事の定理（、、）を引いて証明しています。記事どうしは互いに参照し合いますが、定理の単位で見ると、上の表の定理（項別微分・平均値の定理・中間値の定理・重積分の変数変換など）は三角関数・指数関数を使わずに証明されているので、循環はありません。 ## 3. 指数関数 $x$ を実数とします。 $$ \exp x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots $$ とする。この級数が収束することは (1) で示す。 先に、多項式の微分の準備を済ませておきます。 $k\ge1$ ならば $x\mapsto x^k$ は $\mathbb R$ 上微分可能で、導関数は $kx^{k-1}$（$k=1$ のとき $1$）である。 $k=1$ のとき、$\dfrac{(x+h)-x}h=1$ なので微分係数の定義（）から導関数は $1$ です。$x^k$ の導関数が $kx^{k-1}$ であると仮定すると、積の法則（）より $(x^{k+1})'=(x^k\cdot x)'=kx^{k-1}\cdot x+x^k\cdot1=(k+1)x^k$ です。 1. （収束）任意の実数 $x$ に対し、級数 $\sum x^k/k!$ は絶対収束する。さらに、任意の $R>0$ に対し、部分和 $P_N(x)=\sum_{k=0}^Nx^k/k!$ は $[-R,R]$ 上で $\exp$ に一様収束する。 2. （加法性）$\exp(x+y)=\exp x\cdot\exp y$、$\exp0=1$。 3. （微分）$\exp$ は $\mathbb R$ 上微分可能で $\exp'=\exp$。とくに連続である。 4. （単調性と値域）すべての $x$ で $\exp x>0$。$\exp$ は狭義単調増加で、$x\ge0$ では $\exp x\ge1+x$。値域は $(0,\infty)$ であり、$\exp:\mathbb R\to(0,\infty)$ は全単射である。 **(1)** $x\ne0$ とします。項の絶対値の比は $\dfrac{|x|^{k+1}/(k+1)!}{|x|^k/k!}=\dfrac{|x|}{k+1}\to0$ なので、比判定法（）により $\sum|x|^k/k!$ は収束します。$x=0$ は自明です。一様収束は、$M_k=R^k/k!$ とおくと $|x^k/k!|\le M_k$（$|x|\le R$）で、$\sum M_k$ が同じ理由で収束するので、M 判定法（）から従います。 **(2)** 複素数 $z$ に対する指数関数 $\exp z=\sum z^n/n!$（）は、$z$ が実数のとき上の級数と同じです。その指数法則 $\exp(z+w)=\exp z\exp w$ を実数に使えば (2) です。$\exp0=1$ は、$x=0$ で $k\ge1$ の項が $0$ だからです。 **(3)** $P_N$ は多項式で、 から $P_N'(x)=\sum_{k=1}^Nx^{k-1}/(k-1)!=P_{N-1}(x)$ です。$R>0$ を取ります。$[-R,R]$ 上で、$P_N(0)=1$ は収束し、導関数の列 $P_N'=P_{N-1}$ は (1) より $\exp$ に一様収束します。項別微分の定理（）により、$P_N$ の極限（$=\exp$）は $[-R,R]$ 上微分可能で導関数は $\exp$ です。任意の実数 $x$ に対し $R>|x|$ と取れば $x$ は $[-R,R]$ の内点なので、端点の片側微分係数を考える必要はなく、すべての点で $\exp'=\exp$ です。微分可能なら連続です（）。 **(4)** $x\ge0$ のとき級数の項はすべて $0$ 以上で、最初の 2 項で $\exp x\ge1+x\ge1>0$ です。$x<0$ のときは、(2) より $\exp x\cdot\exp(-x)=\exp0=1$ で、$\exp(-x)>0$ なので $\exp x=1/\exp(-x)>0$ です。(3) より $\exp'=\exp>0$ なので、導関数の符号と単調性（ (3)）から狭義単調増加です。値域：$y>0$ を任意にとる。$\exp x\ge1+x$（$x\ge0$）から $\exp b>y$ となる $b>0$ が取れ、$\exp(-b')=1/\exp b'$ から $\exp(-b')0$ が取れます。中間値の定理（）により $[-b',b]$ に $\exp x=y$ となる点があり、単調性から一意です。 (2) は、「$e^{x+y}=e^xe^y$」という指数法則が、級数の定義から出る（コーシー積という計算を通して）ことを言っています。高校の定義では、まず $e^x$ の意味（$e$ の $x$ 乗）があって、指数法則が成り立つことが先にありました。ここでは順序が逆で、**指数法則が成り立つ関数を級数で作った**のです。 $e$ との関係は、数列の記事で証明した $e=\sum_{k\ge0}1/k!$（）から、次のとおりです。 $\exp1=e$、すなわち $\exp1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ である。 $\exp1=\sum_{k\ge0}1/k!$ は定義そのもので、これが $e$ に等しいことは です。 ## 4. 対数関数と一般の指数 $a^x$ $\exp:\mathbb R\to(0,\infty)$ は連続で狭義単調増加な全単射（ (4)）なので、逆関数があります。 $\exp$ の逆関数 $\log:(0,\infty)\to\mathbb R$ を**自然対数**という（$\ln$ とも書く）。$\exp(\log y)=y$（$y>0$）、$\log(\exp x)=x$（$x\in\mathbb R$）である。 1. $\log1=0$、$\log e=1$。 2. $\log(yz)=\log y+\log z$（$y,z>0$）、$\log(y^n)=n\log y$（$n$ は整数）。 3. $\log$ は $(0,\infty)$ 上で連続かつ狭義単調増加。 4. $\log$ は微分可能で $\log'(y)=1/y$。 **(1)** $\exp0=1$、$\exp1=e$（）。**(2)** $u=\log y$、$v=\log z$ とすると、$yz=\exp u\exp v=\exp(u+v)$（ (2)）なので $\log(yz)=u+v$ です。整数 $n$ 乗は、これを繰り返して（$n<0$ は $\log(1/y)=-\log y$ から）従います。**(3)** 連続で狭義単調な関数の逆関数は連続で狭義単調（）。**(4)** 同じ命題より、$\log'(y)=1/\exp'(\log y)=1/\exp(\log y)=1/y$ です。 数列の記事の指数の定義（有理数の指数からの極限による $a^x$）との関係は、次のとおりです。 任意の $a>0$、実数 $x$ に対し、$a^x$（）は $\exp(x\log a)$ に等しい。 **有理数の指数。** $r=p/q$（$p$ は整数、$q$ は正の整数）とします。$\exp(r\log a)$ は正で、その $q$ 乗は、 (2) を繰り返し使って $\exp(qr\log a)=\exp(p\log a)=\bigl(\exp(\log a)\bigr)^p=a^p$ です。一方、$a^r=(a^{1/q})^p$ も正で、$q$ 乗すると $a^p$ です。正の $q$ 乗根は一意（）なので $\exp(r\log a)=a^r$ です。 **実数の指数。** 有理数列 $r_n\to x$ を取ります。$a^{r_n}\to a^x$（ (2)）です。他方、$\exp$ は連続（ (3)）なので、$\exp(r_n\log a)\to\exp(x\log a)$（ (1)）です。有理数では両者が等しいので、極限の一意性（ (2)）から $a^x=\exp(x\log a)$ です。 とくに $a=e$ とすると $e^x=\exp(x\log e)=\exp x$ です。これで、高校の「$e$ の $x$ 乗」と、級数で定義した $\exp x$ が同じ関数であることがわかりました。高校の教科書が「$e^x$」と書くのは、これを前提にしているのです。 ## 5. $1^\infty$ 型の極限 $\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e$ の一般化として、次の定理が成り立ちます。これは入試で「$1^\infty$ 型の極限」と呼ばれる形です。 数列 $(a_n)$ は $a_n>-1$ かつ $a_n\to0$ を満たし、実数列 $(b_n)$ について $a_nb_n\to c$（$c\in\mathbb R$）とする。このとき $$ (1+a_n)^{b_n}\to\exp c $$ である。（左辺は $\exp(b_n\log(1+a_n))$ であり、 により $(1+a_n)^{b_n}$ と同じ。） $q_n=\dfrac{\log(1+a_n)}{a_n}$（$a_n\ne0$）、$q_n=1$（$a_n=0$）とおきます。$\log$ は $1$ で微分可能で $\log'(1)=1$（ (4)）、$\log1=0$ なので、$\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ が取れて、$0<|h|<\delta$ ならば $\left|\dfrac{\log(1+h)}h-1\right|<\varepsilon$ です。$a_n\to0$ なので十分大きい $n$ で $|a_n|<\delta$ となり、$a_n\ne0$ なら $|q_n-1|<\varepsilon$、$a_n=0$ なら $|q_n-1|=0$ です。したがって $q_n\to1$ です。 $b_n\log(1+a_n)=(a_nb_n)\,q_n\to c\cdot1=c$（ (3)）です。$\exp$ は連続なので、 (1) から $\exp\bigl(b_n\log(1+a_n)\bigr)\to\exp c$ です。 任意の実数 $x$ に対し $\exp x=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n$ である。 を $a_n=x/n$、$b_n=n$ に使います（$n$ が十分大きければ $a_n>-1$ で、有限個の項は極限に影響しない）。$a_nb_n=x\to x$ です。 とくに $x=1$ とすれば、数列の記事で定義した $e=\lim(1+1/n)^n$ が $\exp1$ であることの、独立な別証明になります。 元金 $1$、年利 $r$、年 $n$ 回の複利で $1$ 年後の元利合計は $\left(1+\dfrac rn\right)^n$ です。 から、$n\to\infty$（連続複利）の極限は $\exp r=e^r$ です。年利 $100\%$ で $e\approx2.718$ 倍、年利 $10\%$ で $e^{0.1}\approx1.1052$ 倍（年 1 回の複利の $1.1$ 倍より少し多い）になります。 ## 6. 余弦と正弦 実数 $x$ に対し、次のように定義します。ここにも図形は現れません。 $$ \cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\qquad\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} $$ とする。収束は (1) で示す。 1. （収束）二つの級数は任意の実数 $x$ で絶対収束し、任意の $R>0$ に対して部分和は $[-R,R]$ 上で一様収束する。 2. $\cos0=1$、$\sin0=0$、$\cos(-x)=\cos x$、$\sin(-x)=-\sin x$。 3. $\cos,\sin$ は $\mathbb R$ 上微分可能で、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$。とくに連続である。 **(1)** $\cos$ の級数の項の絶対値 $|x|^{2k}/(2k)!$ の部分和は、$\exp|x|=\sum|x|^n/n!$ の部分和以下なので（項を一部だけ取っている）、上に有界な単調増加数列です。単調有界定理（）により収束し、絶対収束が出ます。$\sin$ も同様です。$R>0$ に対し $M_k=R^{2k}/(2k)!$、$M_k'=R^{2k+1}/(2k+1)!$ とおくと、$\sum M_k$、$\sum M_k'$ も同じ理由で収束するので、M 判定法（）から一様収束が出ます。 **(2)** $x=0$ では、$\cos$ の級数は $k=0$ の項 $1$ だけが残り、$\sin$ の級数はすべての項が $0$ です。また $(-x)^{2k}=x^{2k}$、$(-x)^{2k+1}=-x^{2k+1}$ なので、部分和の段階で $C_N(-x)=C_N(x)$、$S_N(-x)=-S_N(x)$（$C_N,S_N$ は下の (3) の部分和）が成り立ち、$N\to\infty$ とすれば対称性が出ます。 **(3)** 部分和を $C_N(x)=\sum_{k=0}^N\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$、$S_N(x)=\sum_{k=0}^N\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$ とします。 により $$ S_N'(x)=\sum_{k=0}^N\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}=C_N(x),\qquad C_N'(x)=\sum_{k=1}^N\frac{(-1)^kx^{2k-1}}{(2k-1)!}=-S_{N-1}(x) $$ です。$[-R,R]$ 上で、$S_N'=C_N\to\cos$（一様）、$S_N(0)=0$ は収束するので、項別微分（）から $\sin'=\cos$ です。同様に $C_N'=-S_{N-1}\to-\sin$（一様）、$C_N(0)=1$ なので $\cos'=-\sin$ です。(1) より極限は $\cos,\sin$ そのものです。$R>|x|$ と取れば $x$ は内点なので、すべての実数 $x$ で成り立ちます。 ### 6.1. オイラーの公式と加法定理 複素数 $z$ に対する $\exp z=\sum z^n/n!$ を使います。実数 $x$ に対して $\exp(ix)$ を級数で眺めると、偶数次の項は実数、奇数次の項は純虚数になります。 次の補題のねらいは、$\exp$ の級数の偶数次の項（実数）と奇数次の項（虚数単位 $i$ がつく）を分けると、ちょうど $\cos$ と $\sin$ の級数になる、と確かめることです。これで $\exp$ の指数法則から加法定理が取り出せます。 任意の実数 $x$ に対し $\exp(ix)=\cos x+i\sin x$ である。 $T_M=\sum_{n=0}^M(ix)^n/n!$ とおきます。$i^{2k}=(-1)^k$、$i^{2k+1}=(-1)^ki$ なので $T_{2N+1}=C_N(x)+iS_N(x)$ です（$C_N,S_N$ は の証明の部分和）。$N\to\infty$ のとき、$T_{2N+1}$ は収束数列 $(T_M)$ の[部分列](/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy#def-subsequence)なので $\exp(ix)$ に収束し、$C_N(x)\to\cos x$、$S_N(x)\to\sin x$ です。複素数 $w$ について $|\mathrm{Re}\,w|\le|w|$、$|\mathrm{Im}\,w|\le|w|$ なので、収束する複素数の列は実部と虚部がそれぞれ極限の実部・虚部に収束します。したがって $\mathrm{Re}\,T_{2N+1}=C_N(x)$ は $\mathrm{Re}\exp(ix)$ と $\cos x$ の両方に収束し、虚部も同様なので、極限の一意性（ (2)）から $\exp(ix)=\cos x+i\sin x$ です。 任意の実数 $x,y$ に対し $$ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\qquad\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y. $$ 複素数の指数法則（）より $\exp(i(x+y))=\exp(ix)\exp(iy)$ です。 を左辺と右辺の各因子に使うと $$ \cos(x+y)+i\sin(x+y)=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+i(\sin x\cos y+\cos x\sin y) $$ です。両辺の実部どうし、虚部どうしを比べれば主張を得ます（$\cos,\sin$ は実数値なので、実部・虚部が読み取れる）。 任意の実数 $x$ に対し $\cos^2x+\sin^2x=1$ である。とくに $|\cos x|\le1$、$|\sin x|\le1$。 で $y=-x$ とすると、 (2) の対称性から $\cos0=\cos x\cos(-x)-\sin x\sin(-x)=\cos^2x+\sin^2x$ です。$\cos0=1$ です。 ## 7. $\pi$ の定義・周期性・単位円の媒介変数表示 ### 7.1. $\cos$ の最初の零点 $\pi$ を「$\cos$ の最小の正の零点の 2 倍」と定義するには、まずそのような零点があることを示さなければなりません。$\cos0=1>0$ なので、どこかで $\cos$ が負になれば、連続関数が途中で $0$ を通ることから零点が見つかります。そこで次の補題では、具体的な値 $x=2$ で $\cos2<0$ となることを、交代級数の誤差評価で確かめます（$2$ は、評価が簡単に済む手頃な値として選んでいます）。 1. $00$ である。また $\cos2<0$ である。 2. $\cos x=0$ を満たす最小の正の数 $c$ が存在し、$00$ であり、$\sin c=1$。 **(1)** $0）を $c_2-c_3+c_4-\cdots$（和を $\sigma$ とおく）に使うと、$|\sigma-c_2|\le c_3$ なので $\sigma\ge c_2-c_3\ge0$ です。よって $\sin x=c_0-c_1+\sigma\ge x-\dfrac{x^3}6=x\left(1-\dfrac{x^2}6\right)\ge x\cdot\dfrac13>0$ です。 $\cos2=1-\sum_{k\ge1}(-1)^{k-1}b_k$（$b_k=2^{2k}/(2k)!$）です。$b_1=2$、$b_2=\dfrac23$、$b_3=\dfrac4{45}$ で、$\dfrac{b_{k+1}}{b_k}=\dfrac4{(2k+1)(2k+2)}\le\dfrac13$ ($k\ge1$) なので単調減少です。ライプニッツの判定法（）で、和 $T=\sum_{k\ge1}(-1)^{k-1}b_k$ は $|T-(b_1-b_2)|\le b_3$ を満たし、$T\ge\dfrac43-\dfrac4{45}=\dfrac{56}{45}$ です。したがって $\cos2=1-T\le-\dfrac{11}{45}<0$ です。 **(2)** $\cos0=1>0>\cos2$ で $\cos$ は連続なので、中間値の定理（）から $Z=\{x\in[0,2]:\cos x=0\}$ は空でありません。$Z$ は下に有界なので下限 $c=\inf Z$ が存在します（）。$Z$ の元からなる列 $z_n\to c$ を取れば、$\cos c=\lim\cos z_n=0$（連続性。）で、$c\in[0,2]$ です。$\cos0=1\ne0$ なので $c>0$、また $\cos2\ne0$ なので $c<2$ です。$0\le x0$ との間に中間値の定理で零点が $[0,x]$ にあり、$c$ の最小性に反します。最後に、(1) より $\sin c>0$ で、$\sin^2c=1-\cos^2c=1$（）なので $\sin c=1$ です。 の $c$（$\cos$ の最小の正の零点）に対し、$\pi=2c$ と定める。すなわち $\pi/2$ は $\cos x=0$ を満たす最小の正の数である。 これが $\pi$ の定義です。円の周の長さでも直径に対する円周の比でもなく、**$\cos$ の零点**です。この $\pi$ が、円周の長さ（$2\pi$）や円の面積と結びつくことは §8 で証明します。$0<\pi/2<2$ なので $0<\pi<4$ です。 ### 7.2. 周期性と単位円 1. 任意の実数 $x$ に対し $\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)=-\sin x$、$\sin\left(x+\dfrac\pi2\right)=\cos x$。 2. $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$。任意の $x$ に対し $\cos(x+\pi)=-\cos x$、$\sin(x+\pi)=-\sin x$、$\cos(x+2\pi)=\cos x$、$\sin(x+2\pi)=\sin x$。 3. $[0,\pi/2]$ で $\cos$ は $1$ から $0$ へ連続に狭義単調減少し、$\sin$ は $0$ から $1$ へ狭義単調増加する。$\cos>0$ は $[0,\pi/2)$ で、$\sin>0$ は $(0,\pi/2]$ で成り立つ。また $[\pi/2,\pi]$ で $\cos x=-\sin(x-\pi/2)\in[-1,0]$、$\sin x=\cos(x-\pi/2)\ge0$ である。 **(1)** に $y=\pi/2$ を代入し、$\cos(\pi/2)=0$、$\sin(\pi/2)=1$（）を使います。 **(2)** (1) を 2 回使うと $\cos(x+\pi)=-\sin(x+\pi/2)=-\cos x$、$\sin(x+\pi)=\cos(x+\pi/2)=-\sin x$ です。$x=0$ として $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$。さらにもう 1 回使えば周期 $2\pi$ です。 **(3)** $00$（$\pi/2<2$ と (1)）なので、$(\cos x)'=-\sin x<0$ です。導関数の符号と単調性（ (3)）から、$[0,\pi/2]$ で $\cos$ は狭義単調減少で、$\cos0=1$、$\cos(\pi/2)=0$ です。$\cos>0$（$[0,\pi/2)$）は (2) で、$(\sin x)'=\cos x>0$（$0\le x<\pi/2$）から $\sin$ は狭義単調増加、$\sin0=0$、$\sin(\pi/2)=1$ です。$x\in[\pi/2,\pi]$ では (1) より $\cos x=-\sin(x-\pi/2)$、$\sin x=\cos(x-\pi/2)$ で、$x-\pi/2\in[0,\pi/2]$ だから値の範囲が従います。 次の定理で示したいのは、「角 $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと、点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ が単位円を過不足なくちょうど 1 周する」ことです。証明の方針は、円を四つの部分 $Q_0,\dots,Q_3$ に分け、$\pi/2$ ずつ進むと次の部分に移ること（$90^\circ$ 回転）を使って、最初の $1/4$ 周の場合に帰着させる、というものです。 写像 $\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ は、区間 $[0,2\pi)$ から単位円 $S^1=\{(a,b)\in\mathbb R^2:a^2+b^2=1\}$ への**全単射**である（像が単位円に入ることは ）。 単位円を 4 つの部分に分けます。 $$ \begin{aligned} Q_0&=\{a>0,\ b\ge0\},& Q_1&=\{a\le0,\ b>0\},\\ Q_2&=\{a<0,\ b\le0\},& Q_3&=\{a\ge0,\ b<0\} \end{aligned} $$ （各集合は単位円上の点 $(a,b)$ の条件）。単位円上の点は符号の組合せで、ちょうど 1 つの $Q_k$ に入ります。$\rho(a,b)=(-b,a)$ を「$90^\circ$ 回転」と呼ぶと、$\rho$ は単位円から単位円への全単射で、$\rho(Q_0)=Q_1$、$\rho(Q_1)=Q_2$、$\rho(Q_2)=Q_3$、$\rho(Q_3)=Q_0$ です。実際、たとえば $(a,b)\in Q_0$（$a>0$、$b\ge0$）なら $\rho(a,b)=(-b,a)$ は $-b\le0$、$a>0$ で $Q_1$ に入り、他の 3 つも同じく符号を確かめれば $\rho(Q_k)\subseteq Q_{k+1}$（添字は $4$ を法とする）がわかります。逆写像 $\rho^{-1}(a,b)=(b,-a)$ についても同様に $\rho^{-1}(Q_{k+1})\subseteq Q_k$ なので、等号が成り立ちます。また (1) より $(\cos(\theta+\pi/2),\sin(\theta+\pi/2))=\rho(\cos\theta,\sin\theta)$ です。 **$[0,\pi/2)$ から $Q_0$ への全単射。** $\theta\in[0,\pi/2)$ なら $\cos\theta>0$、$\sin\theta\ge0$ で像は $Q_0$ に入ります（ (3)）。単射性は $\cos$ が $[0,\pi/2]$ で狭義単調であることから。全射性：$(a,b)\in Q_0$ とすると $a\in(0,1]$ で、$\cos$ は $[0,\pi/2]$ から $[0,1]$ への連続な狭義単調減少の全単射なので $\cos\theta=a$ となる $\theta\in[0,\pi/2]$ があり、$a>0$ より $\theta<\pi/2$ です。このとき $\sin\theta\ge0$ かつ $\sin^2\theta=1-a^2=b^2$ なので $\sin\theta=b$（$b\ge0$）です。 **一般の $\theta$。** $\theta\in[k\pi/2,(k+1)\pi/2)$（$k=0,1,2,3$）を $\theta=\theta_0+k\pi/2$（$\theta_0\in[0,\pi/2)$）と書くと、$(\cos\theta,\sin\theta)=\rho^k(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ で、$\rho^k$ は $Q_0$ から $Q_k$ への全単射です。したがって各区間 $[k\pi/2,(k+1)\pi/2)$ は $Q_k$ に全単射に写り、$Q_0,\dots,Q_3$ は単位円を分割するので、これらを合わせて $[0,2\pi)$ から単位円への全単射を得ます。 これで、「角 $\theta$ に対応する単位円上の点」が、高校の定義と同じ意味で定まりました。しかも $\pi$ は円周と無関係に $\cos$ の零点として定義したのに、$2\pi$ ちょうどで 1 周する、つまり**周期が $2\pi$**になっています。 ## 8. 幾何への接続：弧の長さと扇形の面積 ここで初めて、曲線の長さと面積を積分で定義します。面積は重積分（）で定めたものです。 $\gamma:[\alpha,\beta]\to\mathbb R^2$、$\gamma(t)=(x(t),y(t))$ を $C^1$ 級の曲線（$x,y$ が微分可能で $x',y'$ が連続）とする。その**長さ**を $$ L(\gamma)=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt $$ で定義する。 この定義は、「曲線を細かい折れ線で近似して、折れ線の長さを足す」という素朴な考えの極限として自然に出てくるものです（折れ線の 1 辺は $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\approx\sqrt{x'^2+y'^2}\,\Delta t$）。 $0\le\theta\le2\pi$ とする。曲線 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$（$0\le t\le\theta$）の長さは $\theta$ である。とくに $\theta=2\pi$ のとき、単位円周の長さは $2\pi$ である。 $\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t)$（ (3)）で、$\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1$（）なので、 より $L(\gamma)=\int_0^\theta1\,dt=\theta$ です（ を $F(t)=t$ に使う）。$\gamma$ が単位円の弧をちょうど 1 回なぞることは からわかります。 これが「**弧度法**」の正当化です。角 $\theta$ を「単位円の弧の長さ」として測ると決めたとき、その角に対応する点は $(\cos\theta,\sin\theta)$ であって、$\cos,\sin$ は級数で定義した関数である、という整合性が、定義ではなく定理として示されました。 この命題の証明の方針は、扇形の点を、中心からの距離 $r$ と角 $t$ で表す「極座標」の変数変換で、長方形 $[0,1]\times[0,\theta]$ の積分に置き換えることです。このとき面積が $r$ 倍になる（ヤコビ行列式が $r$ になる）ことが計算の要で、あとは $\int_0^1r\,dr=\tfrac12$ に $\theta$ をかけるだけです。証明の前半は、この変数変換が使える条件（単射であること）の確認にあたります。 $0<\theta\le2\pi$ とし、$D_\theta=\{(r\cos t,r\sin t):\ 0\le r\le1,\ 0\le t\le\theta\}$（半径 $1$、中心角 $\theta$ の扇形）とする。$D_\theta$ は面積確定で、その面積は $\theta/2$ である。とくに $\theta=2\pi$ のとき単位円板の面積は $\pi$ である。 $\Phi(r,t)=(r\cos t,r\sin t)$ は $\mathbb R^2$ 上の $C^1$ 級写像で、ヤコビ行列式は $\det J_\Phi=\cos t\cdot r\cos t-(-r\sin t)\sin t=r$ です（ (3) と ）。$E=[0,1]\times[0,\theta]$、$Z=\partial E$（長方形の周、面積 $0$）とします。$\mathrm{int}E\setminus Z=(0,1)\times(0,\theta)$ で $\Phi$ が単射であることを示します。$\Phi(r,t)=\Phi(r',t')$ とすると、両辺の成分の 2 乗和から $r^2=r'^2$、$r,r'>0$ なので $r=r'$ です（）。したがって $(\cos t,\sin t)=(\cos t',\sin t')$ で、$t,t'\in(0,\theta)\subseteq(0,2\pi)$ なので $t=t'$ です（）。そこで $\det J_\Phi=r>0$ とあわせて、変数変換公式（）が使えて、$D_\theta=\Phi(E)$ は面積確定で $$ |D_\theta|=\iint_E r\,dr\,dt=\int_0^\theta\left(\int_0^1r\,dr\right)dt=\int_0^\theta\frac12\,dt=\frac\theta2 $$ です（累次積分は長方形の場合の縦線集合の定理 による）。 $\theta=2\pi$ とすると、単位円板の面積は $\pi$、円周の長さは $2\pi$ です。**級数で定義した $\pi$ が、確かに円周率になっています。** $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$、$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}x=0$ である。 微分係数の定義（）により、$\sin'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h-\sin0}h=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h$ です。 (3) より $\sin'(0)=\cos0=1$ です。同様に $\cos'(0)=-\sin0=0$ で、$\lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}h=0$ です。 ## 9. 逆三角関数 1. $\sin$ は $[-\pi/2,\pi/2]$ から $[-1,1]$ への連続な狭義単調増加の全単射である。 2. $\cos$ は $[0,\pi]$ から $[-1,1]$ への連続な狭義単調減少の全単射である。 3. $-\pi/20$ なので $\tan x=\sin x/\cos x$ が定義でき、$\tan$ は $(-\pi/2,\pi/2)$ から $\mathbb R$ への連続な狭義単調増加の全単射で、$\tan'x=1/\cos^2x=1+\tan^2x$ である。 **(1)** $[0,\pi/2]$ で $\sin$ は $0$ から $1$ へ狭義単調増加（ (3)）で、$\sin$ は奇関数なので $[-\pi/2,0]$ では $-1$ から $0$ へ狭義単調増加です。つなげれば $[-\pi/2,\pi/2]$ で $-1$ から $1$ へ狭義単調増加で、連続なので中間値の定理（）により全射です。**(2)** $[0,\pi/2]$ で $\cos$ は $1$ から $0$ へ、$[\pi/2,\pi]$ で $\cos x=-\sin(x-\pi/2)$ は $0$ から $-1$ へ狭義単調減少です（ (1)(3)）。つなげれば $[0,\pi]$ で $1$ から $-1$ へ狭義単調減少で、連続なので中間値の定理（）により全射です。 **(3)** $\cos$ は偶関数で $[0,\pi/2)$ で正なので、$(-\pi/2,\pi/2)$ で正です。商の法則（）から $\tan'=\dfrac{\cos^2+\sin^2}{\cos^2}=\dfrac1{\cos^2}=1+\tan^2>0$ で、狭義単調増加です（）。全射性を示します。$y>0$ を任意にとり、$\sin(\pi/2)=1$、$\cos(\pi/2)=0$ と連続性から、$\pi/2$ に十分近い $x_0<\pi/2$ で $\sin x_0>1/2$ かつ $0<\cos x_0<\dfrac1{2(y+1)}$ となるものが取れます。このとき $\tan x_0>y+1>y$ で、$\tan0=0）から $\tan x=y$ となる $x\in(0,x_0)$ があります。$y<0$ は奇関数性から、$y=0$ は $x=0$ です。 上の補題の逆関数を、それぞれ $\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$、$\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$、$\arctan:\mathbb R\to(-\pi/2,\pi/2)$ と書く。$\arcsin x$ は「$\sin\theta=x$ となる $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$」、$\arccos x$ は「$\cos\theta=x$ となる $\theta\in[0,\pi]$」、$\arctan x$ は「$\tan\theta=x$ となる $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$」である。 $$ (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\quad(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\quad(-1 逆関数の微分法（）を使います。$|x|<1$ で $\theta=\arcsin x\in(-\pi/2,\pi/2)$ とすると、$\cos\theta>0$ かつ $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-x^2$ なので $\cos\theta=\sqrt{1-x^2}$ で、$(\arcsin x)'=1/\cos\theta=1/\sqrt{1-x^2}$ です。$\arccos$ は、$\theta=\arccos x\in(0,\pi)$ で $\sin\theta>0$（ (3) と ）、$\sin\theta=\sqrt{1-x^2}$ なので $(\arccos x)'=1/(-\sin\theta)=-1/\sqrt{1-x^2}$ です。$\arctan$ は、$\theta=\arctan x$ のとき $(\arctan x)'=1/\tan'\theta=1/(1+\tan^2\theta)=1/(1+x^2)$ です（ (3)）。 ## 10. $\arctan$ の加法定理と $\pi$ の評価 $x,y$ が実数で $xy<1$ ならば $$ \arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy} $$ である。$\arctan$ は奇関数なので、$xy>-1$ のとき $\arctan x-\arctan y=\arctan\dfrac{x-y}{1+xy}$ も成り立つ。 $\alpha=\arctan x$、$\beta=\arctan y\in(-\pi/2,\pi/2)$ とすると $\cos\alpha,\cos\beta>0$、$\sin\alpha=x\cos\alpha$、$\sin\beta=y\cos\beta$ です。加法定理（）から $$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\,(1-xy)>0,\qquad\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\,(x+y) $$ です。$\alpha+\beta\in(-\pi,\pi)$ で、$[\pi/2,\pi)$ では $\cos\le0$（ (3)）、$\cos$ は偶関数なので、$\cos(\alpha+\beta)>0$ から $\alpha+\beta\in(-\pi/2,\pi/2)$ です。そこで $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{x+y}{1-xy}$ で、$\arctan$ の定義から $\alpha+\beta=\arctan\dfrac{x+y}{1-xy}$ です。差の公式は $y$ を $-y$ に置き換えます。 $|x|<1$ ならば $\displaystyle\arctan x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}$ である。 $0<\rho<1$ とし、$G_N(x)=\sum_{k=0}^N\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}$ とおきます。$|x|\le\rho$ では級数は絶対収束するので（$\sum\rho^{2k+1}$ との比較。）、極限関数 $g(x)=\lim G_N(x)$ が定まります。$G_N'(x)=\sum_{k=0}^N(-x^2)^k=\dfrac{1-(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}$（等比数列の和）で、 $$ \left|G_N'(x)-\frac1{1+x^2}\right|=\frac{x^{2N+2}}{1+x^2}\le\rho^{2N+2}\to0 $$ は $[-\rho,\rho]$ 上で一様です（）。項別微分（）から $g$ は微分可能で $g'(x)=\dfrac1{1+x^2}$ です。 より $(g-\arctan)'=0$ なので、導関数が $0$ の関数は定数（ (1)）、すなわち $g-\arctan$ は $(-\rho,\rho)$ 上で定数です。$g(0)=0=\arctan0$ なので定数は $0$ で、$\rho<1$ は任意です。 $$ \frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239} $$ である。 まず $\arctan1=\pi/4$ を示します。 で $x=y=\pi/4$ とすると $0=\cos\frac\pi2=\cos^2\frac\pi4-\sin^2\frac\pi4$ で、$\frac\pi4\in(0,\frac\pi2)$ では $\cos,\sin>0$ なので $\cos\frac\pi4=\sin\frac\pi4$ 、すなわち $\tan\frac\pi4=1$ です。 を繰り返します。$x=y=\frac15$ で $xy<1$ なので $2\arctan\frac15=\arctan\dfrac{2/5}{24/25}=\arctan\frac5{12}$。さらに $x=y=\frac5{12}$ で $4\arctan\frac15=\arctan\dfrac{5/6}{119/144}=\arctan\frac{120}{119}$ です。次に差の公式で $$ \arctan\frac{120}{119}-\arctan\frac1{239}=\arctan\frac{\frac{120}{119}-\frac1{239}}{1+\frac{120}{119\cdot239}}=\arctan\frac{28561/28441}{28561/28441}=\arctan1=\frac\pi4 $$ です（$120\cdot239-119=28561$、$119\cdot239+120=28561$）。 $3.1415926<\pi<3.1415928$ である。 から $\pi=16\arctan\frac15-4\arctan\frac1{239}$ です。$A=\arctan\frac15$、$B=\arctan\frac1{239}$ とおくと、 により、それぞれ項の絶対値が単調に減少して $0$ に収束する交項級数 $\sum(-1)^k\dfrac1{(2k+1)5^{2k+1}}$、$\sum(-1)^k\dfrac1{(2k+1)239^{2k+1}}$ です。ライプニッツの判定法（）の剰余評価 $|S-S_N|\le b_{N+1}$ を使います。 $A$ の最初の 5 項の和は $\frac15-\frac1{375}+\frac1{15625}-\frac1{546875}+\frac1{17578125}=0.19739556165\cdots$ で、次の項は $\dfrac1{11\cdot5^{11}}<2\times10^{-9}$ なので $0.197395559616\cdot0.1973955596-4\cdot0.0041840761=3.1415926492\cdots,\qquad\pi<16\cdot0.1973955637-4\cdot0.0041840759=3.1415927156\cdots $$ で、$3.1415926<\pi<3.1415928$ です。 ## 11. 双曲線関数 指数関数から、三角関数に似た 2 つの関数が作れます。 $$ \cosh x=\frac{\exp x+\exp(-x)}2,\qquad\sinh x=\frac{\exp x-\exp(-x)}2 $$ とする。 1. $\cosh^2x-\sinh^2x=1$。$\cosh$ は偶関数、$\sinh$ は奇関数。 2. $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$、$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$。 3. $(\cosh x)'=\sinh x$、$(\sinh x)'=\cosh x$。 4. 双曲線 $a^2-b^2=1$ の右半分 $\{(a,b):a>0,\ a^2-b^2=1\}$ の点は、$(\cosh t,\sinh t)$（$t\in\mathbb R$）の形にただ 1 通りに書ける。 $e^x$ は $\exp x$ の略記とし、$\exp x\exp(-x)=1$（ (2)）を使います。 **(1)** $4(\cosh^2x-\sinh^2x)=(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2=4e^xe^{-x}=4$ です。偶奇は定義から。**(2)** $\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y=\frac14\bigl[(e^x+e^{-x})(e^y+e^{-y})+(e^x-e^{-x})(e^y-e^{-y})\bigr]=\frac12\bigl(e^{x+y}+e^{-x-y}\bigr)=\cosh(x+y)$。$\sinh$ も同様に展開します。**(3)** $\exp'=\exp$（ (3)）と連鎖律（）から $(\exp(-x))'=-\exp(-x)$ なので、定義の式を微分して従います。 **(4)** (1) から $\cosh^2=1+\sinh^2\ge1$ で $\cosh>0$ です。(3) より $\sinh'=\cosh>0$ なので $\sinh$ は狭義単調増加です。$x\ge0$ で $\exp x\ge1+x$、$\exp(-x)\le1$ なので $\sinh x\ge x/2\to\infty$ で、奇関数性とあわせて $\sinh$ は $\mathbb R$ から $\mathbb R$ への連続な狭義単調増加の全単射です（ と中間値の定理 、単調性は (3)）。したがって点 $(a,b)$ に対し $\sinh t=b$ となる $t$ がただ 1 つ存在し、$\cosh t>0$ かつ $\cosh^2t=1+b^2=a^2$（$a>0$）から $\cosh t=a$ です。 三角関数が円 $a^2+b^2=1$ のパラメータ表示を与えたのと同じように、$\cosh,\sinh$ は双曲線 $a^2-b^2=1$ のパラメータ表示を与えます。双曲線の媒介変数表示は、後の記事「2 次曲線」で使います。 ## 12. 微分方程式による特徴づけ 指数関数・三角関数は、微分方程式を満たす関数としても特徴づけられます。高校では、$y'=y$ の解が $e^x$ の定数倍であることを暗黙のうちに使いますが、証明は次のとおり短いものです。 1. $y:\mathbb R\to\mathbb R$ が微分可能で $y'=y$ ならば、$y(x)=y(0)\exp x$（$x\in\mathbb R$）である。 2. $y:\mathbb R\to\mathbb R$ が 2 回微分可能で $y''=-y$ ならば、$y(x)=y(0)\cos x+y'(0)\sin x$（$x\in\mathbb R$）である。 **(1)** $z(x)=y(x)\exp(-x)$ とおくと、積の法則と連鎖律（、）から $z'=y'\exp(-x)-y\exp(-x)=0$ です。導関数が $0$ の関数は定数（ (1)）なので $z\equiv z(0)=y(0)$ で、$y(x)=y(0)\exp(x)$ です（$\exp(x)\exp(-x)=1$）。 **(2)** $a=y(0)$、$b=y'(0)$ とし、$w=y-a\cos-b\sin$ とおきます。$\cos''=-\cos$、$\sin''=-\sin$（ (3)）なので $w''=-w$ で、$w(0)=a-a=0$、$w'(0)=b-a\cdot0-b\cdot1=0$ です。$E=w^2+(w')^2$ とおくと $E'=2ww'+2w'w''=2ww'-2w'w=0$ なので、$E$ は定数です（ (1)）。$E(0)=w(0)^2+w'(0)^2=0$ で、$E$ の 2 つの項はどちらも $0$ 以上なので、すべての $x$ で $w(x)^2\le E(x)=0$、すなわち $w\equiv0$ です。 この定理から、$\exp,\cos,\sin$ はそれぞれ、初期値 $y(0)=1$ の $y'=y$ の解、$(y(0),y'(0))=(1,0)$、$(0,1)$ の $y''=-y$ の解として、一意に特徴づけられます。級数による定義は、これらの微分方程式の解の**構成法**の 1 つだったことになります。 ## 13. 大学ではどこへ続くか - **べき級数と解析関数。** $\exp,\cos,\sin$ のようにべき級数で書ける関数は、収束円の内側で何回でも項別微分でき、複素数にも自然に拡張できます。複素数の指数関数を使った Euler の公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を、[複素数と複素平面](/mathematics/complex-analysis/complex-numbers) が扱っています。この記事の は、そこで認めていた「$\cos,\sin$ の Maclaurin 展開」を、級数を定義にすることで根本から用意し直したものです。 - **微積分の記事との関係。** [導関数の定義と基本的な微分法](/mathematics/calculus/derivatives) では、$\sin x/x\to1$ に扇形の面積を使う高校流の説明を採用しています。この記事の と が、それを定義から証明し直したものです。 - **常微分方程式。** は、線形微分方程式の解の一意性の最も簡単な場合です。一般の定数係数の線形方程式と一意性の定理は [常微分方程式の初等的解法](/mathematics/ode/elementary-methods) に続きます。 - **角と回転。** $\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)$ は、加法群 $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ から円周群 $S^1$ への同型です。群の言葉でいえば、指数写像 $\theta\mapsto e^{i\theta}$ が円周群の普遍被覆になっていることで、リー群論（[行列リー群](/mathematics/lie-theory/matrix-lie-groups)）に続きます。 ## 14. 演習 すべての実数 $x$ に対して $\exp x\ge1+x$ が成り立つことを示せ。 $x\ge0$ では (4) である。$x<0$ では $g(x)=\exp x-1-x$ とおくと $g'(x)=\exp x-1<0$（$\exp$ は狭義単調増加で $\exp0=1$）なので、$g$ は $(-\infty,0]$ で狭義単調減少（ (3) を $-g$ に使う）。したがって $x<0$ で $g(x)>g(0)=0$ である。 次の極限を、 を使って求めよ。(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^{3n}$　(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n$　(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)^n$ (1) $a_n=2/n$、$b_n=3n$ で $a_nb_n=6$ なので $\exp6=e^6$。(2) $a_n=-1/n$（$n\ge2$ で $>-1$）、$b_n=n$ で $a_nb_n=-1$ なので $\exp(-1)=e^{-1}$。(3) $a_n=1/n^2$、$b_n=n$ で $a_nb_n=1/n\to0$ なので $\exp0=1$。 すべての実数 $x$ に対して $\cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$ が成り立つことを示せ。 $h(x)=x-\sin x$ とおく。$h'(x)=1-\cos x\ge0$（ より $\cos x\le1$）なので、$h$ は単調増加（ (2)）で、$h(0)=0$ より $x\ge0$ で $\sin x\le x$ である。次に $g(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}2$ とおくと、$g'(x)=-\sin x+x=h(x)\ge0$（$x\ge0$）なので $g$ は $[0,\infty)$ で単調増加、$g(0)=0$ から $x\ge0$ で $g(x)\ge0$ である。$g$ は偶関数なので、すべての $x$ で $g(x)\ge0$ である。 ## 参考文献 - W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 8（指数関数・対数関数・三角関数をべき級数から定義する）。 - M. Spivak, *Calculus*, 4th ed., Publish or Perish, 2008 — 三角関数・対数関数・指数関数の章（定義の順序の違いによる流儀の比較）。 - 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 初等関数の章（べき級数による定義）。 - 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 初等関数の定義（べき級数）。