Mayer–Vietoris 完全列

命題 5.1（「層コホモロジー」§5）・ ✓公理まで証明済み

位相空間 $X$ が二つの開集合で $X = U \cup V$ と覆われているとする。層 $\mathcal F$ について、長完全列

\cdots \to H^i(X, \mathcal F) \xrightarrow{\ \alpha\ } H^i(U, \mathcal F) \oplus H^i(V, \mathcal F) \xrightarrow{\ \beta\ } H^i(U \cap V, \mathcal F) \xrightarrow{\ \delta\ } H^{i+1}(X, \mathcal F) \to \cdots

が $H^0(X, \mathcal F)$ から始まる形で存在する。 $i = 0$ では $\alpha(s) = (s|_U, s|_V)$ 、 $\beta(s, t) = s|_{U \cap V} - t|_{U \cap V}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 63 件、定義なども含めて 76 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
    普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
    加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
    加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
    層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
    加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層（上で展開済み）
コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジー
- 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層（上で展開済み）
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー
  - 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
  - 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
  - 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Mayer–Vietoris 完全列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）