数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

Weierstrass 点の重み

補題 8.2（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を標数 $0$ の代数閉体上の種数 $g \ge 2$ の曲線とする。点 $P$ に対し、 $\{ v_P(\omega) : 0 \ne \omega \in H^0(X, \omega_X) \} = \{ a_1 < \cdots < a_g \}$ とし（補題 7.5 により $g$ 個）、 $w(P) = \sum_{i=1}^{g}(a_i - (i - 1)) \ge 0$ を $P$ の重みという。 $w(P) > 0$ である点を Weierstrass 点という。

$\sum_{P \in X} w(P) = (g - 1)g(g + 1)$ である。とくに Weierstrass 点は有限個で、少なくとも 1 つある。
$w(P) \le g(g - 1)/2$ で、等号は $l(2P) = 2$ のときに限る。
$\sigma \in \operatorname{Aut} X$ について $w(\sigma P) = w(P)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 341 件、定義なども含めて 396 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

素元の微分は生成元✓補題 2.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法
    ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射この先をたどる →
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束
    アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
    加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
    準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
    M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
    台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Kähler 微分加群定義 2.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
    導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
  - Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
- 非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - 体上有限型のスキームの閉点✓補題 2.3・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
  - 余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
  - 微分の層の基本性質✓定理 5.2・次元・正規性・非特異性と微分の層（上で展開済み）
  - 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
    中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
  - 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 埋め込み次元・正則局所環・正則環定義 6.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
  - 関数体の微分の次元✓補題 7.1・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
  - 正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
  - ファイバーの次元が生成点と等しければ局所自由✓補題 7.2・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 余接空間と Kähler 微分✓命題 8.1・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 有限次分離拡大は形式的にエタール✓補題 7.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 切断から作る導分✓補題 6.4・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 第二基本完全列✓定理 5.2・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 分離拡大と Ω = 0✓定理 7.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - 導分の基本性質✓補題 2.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
  - Kähler 微分加群の普遍性✓定理 2.5・Kähler 微分と滑らかさの入口（上で展開済み）
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 係数の拡大と Hom✓補題 2.3・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 導分の局所化への延長✓補題 4.1・Kähler 微分と滑らかさの入口この先をたどる →
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

自己同型群の有限性✓補題 8.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

Weierstrass 点の重み

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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