導分と平方零拡大の持ち上げ

$C \to C/J$ を $A$ 代数の平方零拡大、$u\colon B \to C/J$ を $A$ 代数の準同型とし、$J$ を $u$ により $B$ 加群とみる。

1. $u_1, u_2\colon B \to C$ が $u$ の持ち上げ（$C/J$ に落とすと $u$ になる $A$ 代数の準同型）なら、$u_1 - u_2\colon B \to J$ は $A$ 導分である。
2. $u_1$ が $u$ の持ち上げで $D \in \operatorname{Der}_A(B, J)$ なら、$u_1 + D$ も $u$ の持ち上げである。

したがって $u$ の持ち上げの全体は、空であるか、$\operatorname{Der}_A(B, J)$ が $u_1 \mapsto u_1 + D$ で単純推移的に作用する集合である。とくに自明な平方零拡大について、$A$ 代数の準同型 $s\colon B \to B * M$ で射影との合成が恒等写像になるもの（切断）は、$s(b) = (b, D(b))$ により $D \in \operatorname{Der}_A(B, M)$ と一対一に対応する。