# 曲面上の交叉理論：交点数・随伴公式・Hodge 指数定理
> 非特異射影曲面の上で交点数を Euler 標数で定義し、双線形性と局所交点数の和への分解を証明する。そこから曲面の Riemann–Roch、随伴公式、Bézout の定理、Hodge 指数定理、1 点の爆発と例外曲線、爆発による種数の変化を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-geometry-2/intersection-theory-surfaces
## 0. この記事の要点
平面上の 2 本の曲線が何か所で交わるかは、ふつうは点を数えれば分かります。ところが、2 本が接しているときや、同じ曲線どうしを交わらせるときには、「何点で交わるか」が曖昧になります。この記事では、交わりの数を点の個数としてではなく、ある量の差として最初から定義し、どんな場合にも使える「交点数」を作ります。読み終えると、曲面上の曲線の種数や、特異点が爆発でほどける様子を、数の計算で追えるようになります。
- **曲面**は代数閉体 $k$ 上の非特異な射影的整 $2$ 次元スキームです。[可逆層](/mathematics/algebraic-geometry-1/quasi-coherent-sheaves#def-locally-free) $\mathcal{L}, \mathcal{M}$ の**交点数**を $(\mathcal{L}.\mathcal{M}) = \chi(\mathcal{O}_X) - \chi(\mathcal{L}^{-1}) - \chi(\mathcal{M}^{-1}) + \chi(\mathcal{L}^{-1} \otimes \mathcal{M}^{-1})$ で定義します。これは $\operatorname{Pic} X$ 上の対称な双線形形式です。
- 共通成分をもたない有効因子 $C, D$ では $C.D = \sum_P (C.D)_P$、$(C.D)_P = \ell(\mathcal{O}_P/(f, g))$ です。$C$ が非特異曲線なら $C.D = \deg \mathcal{O}_X(D)|_C$ です。
- **曲面の Riemann–Roch** $\chi(\mathcal{O}_X(D)) = \tfrac{1}{2}D.(D - K) + \chi(\mathcal{O}_X)$ と**随伴公式** $2p_a(C) - 2 = C.(C + K)$ が成り立ちます。$\mathbb{P}^2$ では次数 $d, e$ の曲線が $de$ 点で交わります（**Bézout**）。
- **Hodge 指数定理**: $H$ が[豊富](/mathematics/algebraic-geometry-2/divisors-and-line-bundles#def-ample)で $D.H = 0$ なら $D^2 \le 0$ で、等号は $D$ が数値的に $0$ のときに限ります。交点形式の符号は $(1, \rho - 1)$ 型です。
- 1 点 $P$ の**爆発** $\pi\colon \tilde{X} \to X$ は非特異射影曲面で、例外曲線 $E \cong \mathbb{P}^1$ は $E^2 = -1$ を満たします。$\operatorname{Pic}\tilde{X} \cong \operatorname{Pic} X \oplus \mathbb{Z}E$、$K_{\tilde{X}} = \pi^*K_X + E$ で、重複度 $m$ の点を爆発すると曲線の算術種数は $m(m-1)/2$ 下がります。
## 1. 動機
平面上の 2 直線は 1 点で交わり、直線と円錐曲線は（重複度を込め、無限遠も数えて）2 点で交わります。「次数 $d$ と $e$ の曲線は $de$ 点で交わる」という Bézout の定理を一般の曲面に持ち上げようとすると、2 つの問題にぶつかります。1 つは、接している場合や特異点を通る場合の重複度をどう数えるか。もう 1 つは、同じ曲線どうしの交点数 $C.C$ のように、交わりが点の集合にならない場合をどう扱うかです。
古典的な方法は、$C$ を線形同値な別の曲線に「動かして」横断的に交わるようにしてから数えるというものです。動かせることの証明には Bertini の定理が要ります。この記事では別の道を取ります。交点数を最初から [Euler 標数](/mathematics/algebraic-geometry-2/cech-cohomology-projective-space#def-euler-characteristic)の交代和で**定義**してしまうのです。この定義は可逆層の同型類だけで決まるので、線形同値で変わらないことは定義から明白で、自己交点数も同じ式で定まります。証明すべきことは、この数が双線形であることと、交わりが有限個の点のときに局所的な重複度の和に一致することです。前者は曲線上の層の Euler 標数の計算に、後者は正則列の Koszul 複体に帰着します。
交点数が手に入ると、曲面の幾何の基本公式が次々に出ます。Serre 双対と合わせると曲面の Riemann–Roch が出て、そこから随伴公式（曲面上の曲線の種数）と Hodge 指数定理（交点形式の符号）が従います。最後に、曲面の双有理幾何の基本操作である 1 点の爆発を座標で構成し、交点数がどう変わるかを計算します。
## 2. 準備：曲面・因子・局所交点数
$k$ は代数閉体とします。**曲面**は $k$ 上の非特異な射影的整 $2$ 次元スキームです。前章までと同じく、**曲線**は非特異な射影的整 $1$ 次元スキームを指します。曲面 $X$ の点（閉点）$P$ の局所環 $\mathcal{O}_P$ は $2$ 次元の[正則局所環](/mathematics/commutative-algebra/cohen-macaulay-regular-local-rings#def-regular-local-ring)で（
$A$ を $k$ 上有限生成の整域、$\mathfrak{m}$ を極大イデアルで $A_{\mathfrak{m}}$ が $2$ 次元の正則局所環であるもの、$x, y \in A$ を $\mathfrak{m} = (x, y)A$ を満たす元とする。$U = \operatorname{Spec} A$、$P$ を $\mathfrak{m}$ に対応する点とし、$\mathbb{P}^1_A$（座標 $T_0, T_1$）の閉部分スキーム $\tilde{U} = V(xT_1 - yT_0)$ と射影 $\pi\colon \tilde{U} \to U$ を考える。
1. $\tilde{U}$ は 2 つのアフィン開集合 $U_1 = \operatorname{Spec} A_1$、$A_1 = A[t]/(xt - y)$（$t = T_1/T_0$）と $U_2 = \operatorname{Spec} A_2$、$A_2 = A[s]/(x - ys)$（$s = T_0/T_1$）で覆われる。$A_1$ は $\operatorname{Frac} A$ の部分環 $A[y/x]$ と、$A_2$ は $A[x/y]$ と同型である。$\tilde{U}$ は整で、$\pi$ は $U \setminus \{P\}$ の上で同型である。
2. $E = \pi^{-1}(P)$ は $\mathbb{P}^1_k$ と同型で、$U_1$ の上では $x$、$U_2$ の上では $y$ で定義される有効 Cartier 因子である。$A_1/xA_1 = k[t]$、$A_2/yA_2 = k[s]$ である。
3. $E$ の各閉点 $Q$ で $\mathcal{O}_{\tilde{U},Q}$ は $2$ 次元の正則局所環である。$Q \in U_1$ が $t = c$ に対応するとき、極大イデアルは $(x, t - c)$ で生成される。
**(1)** $D_+(T_0)$ と $D_+(T_1)$ の上で方程式を書けば $A_1, A_2$ を得ます。$y$ 倍が $A/xA$ の上で単射であることを示します。単射性は極大イデアルでの局所化で確かめられます（