数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環
安定的に自由な可逆イデアルは単項
を整域、、 を可逆イデアル（定義 4.1［離散付値環と Dedekind 環］）とし、 加群の同型 があるとする。このとき は単項イデアルである。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 41 件、定義なども含めて 45 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 可逆イデアルの群✓補題 4.2・離散付値環と Dedekind 環
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
- 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Schanuel の補題✓補題 5.6・加群・完全列・中山の補題
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- 正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環