射影次元と Tor

定理 6.3（「Tor・Ext と深さ」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、 $M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群、 $F_\bullet \to M$ を極小自由分解（命題 3.6）とし、 $b_i = \operatorname{rank} F_i$ とする。

$b_i = \dim_k \operatorname{Tor}_i(M, k)$ である。とくに $b_i$ は極小自由分解の取り方によらない。
$\operatorname{pd} M = \sup\{ i : \operatorname{Tor}_i(M, k) \ne 0 \}$ であり、これは極小自由分解の長さに等しい。
$n \ge 0$ について、 $\operatorname{pd} M \le n \iff \operatorname{Tor}_{n+1}(M, k) = 0$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
- 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さ
  - 射影加群定義 3.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
    多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 5 件

射影次元の次数の Ext は消えない✓補題 6.2・Ext 層と Serre 双対
Koszul 複体は極小自由分解✓命題 2.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Noether 局所環の大域次元✓系 6.5・Tor・Ext と深さ
Auslander–Buchsbaum の公式✓定理 9.1・Tor・Ext と深さ

射影次元と Tor

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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