数学 › 可換環論 › Tor・Ext と深さ

平坦性の Tor 判定

命題 5.1（「Tor・Ext と深さ」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ 加群 $M$ について次は同値である。

$M$ は平坦である。
すべての $A$ 加群 $N$ とすべての $n \ge 1$ について $\operatorname{Tor}_n(N, M) = 0$ 。
すべての $A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Tor}_1(N, M) = 0$ 。
$A$ のすべての有限生成イデアル $\mathfrak{a}$ について $\operatorname{Tor}_1(A/\mathfrak{a}, M) = 0$ 。

定理 4.6 により、 $\operatorname{Tor}_n(N, M)$ を $\operatorname{Tor}_n(M, N)$ に置き換えてもよい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
  - 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さ
    射影加群定義 3.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- ホモロジーの長完全列（加群）✓補題 2.3・Tor・Ext と深さ
  - 蛇の補題✓補題 4.1・加群・完全列・中山の補題
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 馬蹄補題✓補題 3.4・Tor・Ext と深さ
  - 蛇の補題✓補題 4.1・加群・完全列・中山の補題
  - 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
平坦性のイデアル判定✓定理 4.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 指標加群✓補題 3.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の指標加群✓補題 4.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 余誘導加群✓補題 3.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- Baer の判定法✓定理 3.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →

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局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ

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