平坦性のイデアル判定

定理 4.3（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ 加群 $M$ について次は同値である。

$M$ は平坦である。
指標加群 $M^\vee$ は入射 $A$ 加群である。
$A$ の任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について、 $\mathfrak{a} \otimes M \to A \otimes M = M$ は単射である。
$A$ の任意の有限生成イデアル $\mathfrak{a}$ について、 $\mathfrak{a} \otimes M \to M$ は単射である。

このとき $\mathfrak{a} \otimes M \cong \mathfrak{a}M$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指標加群✓補題 3.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Baer の判定法✓定理 3.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 単項イデアル整域定義 7.1・イデアルと剰余環
テンソル積の指標加群✓補題 4.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 余誘導加群✓補題 3.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
Baer の判定法✓定理 3.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題