数学 › 可換環論 › テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
PID 上の平坦加群
を単項イデアル整域とする。
- 加群 が平坦であることと、捩れがない（、 なら ）ことは同値である。
- 有限生成 加群については、平坦・射影・自由の三条件は同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 31 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 単項イデアル整域定義 7.1・イデアルと剰余環
平坦性のイデアル判定✓定理 4.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
指標加群✓補題 3.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
テンソル積の指標加群✓補題 4.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 余誘導加群✓補題 3.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
Baer の判定法✓定理 3.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
- 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- ホモロジーの普遍係数定理✓系 7.3・Ext と拡大