数学 › 可換環論 › 完備化と Artin–Rees の補題

完備化の平坦性

定理 6.7（「完備化と Artin–Rees の補題」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 55 件、定義なども含めて 64 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 平坦性のイデアル判定✓定理 4.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • 指標加群✓補題 3.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • PID 上の入射加群✓命題 3.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • テンソル積の指標加群✓補題 4.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • 余誘導加群✓補題 3.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    • Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • Baer の判定法✓定理 3.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
• テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
• 完備化とテンソル積✓定理 6.2・完備化と Artin–Rees の補題

  • テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  • 完備化の完全性✓定理 6.1・完備化と Artin–Rees の補題（上で展開済み）
  • テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    • Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
• 完備化の完全性✓定理 6.1・完備化と Artin–Rees の補題

  • 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環

    • 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  • 逆極限の完全性✓定理 2.2・完備化と Artin–Rees の補題
  • Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題

    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  • ずれが有界なフィルトレーションの逆極限✓補題 3.5・完備化と Artin–Rees の補題
• 完備化の Noether 性と局所性✓定理 6.6・完備化と Artin–Rees の補題

  • 完備な環への冪級数の代入✓補題 6.5・完備化と Artin–Rees の補題

    • 多変数冪級数環の多重指数表示✓補題 6.4・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
    • 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 完備化のイデアルと剰余✓命題 6.3・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
  • 冪級数環の Noether 性✓定理 4.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
• 平坦な局所準同型と Spec の全射性✓系 6.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • 忠実平坦の特徴づけ✓定理 6.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
  • 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問

• 可換環論 第 71 問