数学 › 可換環論 › 完備化と Artin–Rees の補題

完備化の完全性

定理 6.1（「完備化と Artin–Rees の補題」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環

  • 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
• 逆極限の完全性✓定理 2.2・完備化と Artin–Rees の補題
• Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題

  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題

    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
• ずれが有界なフィルトレーションの逆極限✓補題 3.5・完備化と Artin–Rees の補題

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 完備化とテンソル積✓定理 6.2・完備化と Artin–Rees の補題
• 完備化のイデアルと剰余✓命題 6.3・完備化と Artin–Rees の補題
• 完備化の平坦性✓定理 6.7・完備化と Artin–Rees の補題