外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian

0. この記事の要点

この記事は、「$x$ と $y$ を入れ替えると符号が変わる」という掛け算（$xy=-yx$）の規則を、きちんと代数として扱う話です。たとえば物理の電子のような粒子は、この規則に従う変数で書かれます。読み終えると、そのような変数の代数がどんな形をしているか、そこに現れる行列（γ 行列）がなぜ表示によらず本質的に一つに決まるか、さらに行列式に似た量（Pfaffian）がどう計算できるかが分かります。以下の箇条書きは全体の地図なので、用語が分からなくても、第 2 節以降で順に定義するので先へ進んでください。

• 超代数（$\mathbb{Z}_2$ 次数付き代数）は、元が「偶」と「奇」に分かれ、積が偶奇を足し算で保つ代数です。フェルミオンを含む系の代数はこの形をしていて、二つの超代数の次数付きテンソル積では、奇の元どうしを入れ替えるたびに符号 $-1$ が付きます。
• Clifford 代数は、生成元 $e_1,\dots,e_n$ と関係式 $e_ie_k+e_ke_i=2q_i\delta_{ik}$ で定まる代数です。$q_i=0$ なら外積代数（Grassmann 代数）、$q_i=\pm1$ なら Dirac の γ 行列が満たす代数になります。単項式 $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$（$i_1<\cdots<i_k$）が基底で、次元は $2^n$ です。直交和の Clifford 代数は、次数付きテンソル積に分解します。
• 複素数体上では、$n=2m$ のとき $\mathrm{Cl}_{2m}(\mathbb{C})\cong M_{2^m}(\mathbb{C})$、$n=2m+1$ のとき $M_{2^m}(\mathbb{C})\oplus M_{2^m}(\mathbb{C})$ です。同型は Pauli 行列のテンソル積で書いた γ 行列で与えられます。
• Pauli の基本定理：反交換関係を満たす $2^m$ 次の行列の組は、すべて互いに相似です。そこから荷電共役行列 $C$（$C\gamma_\mu C^{-1}=\pm\gamma_\mu^{\mathsf{T}}$）の存在と、その対称性 $C^{\mathsf{T}}=\pm C$ の符号が次元から決まることを導きます。
• Grassmann 代数の上の Berezin 積分は「最高次の係数を取り出す」線形汎関数です。交代行列 $A$ の Pfaffian は $\int d\theta\,e^{\frac12\theta^{\mathsf{T}}A\theta}$ と書け、線形変換の公式から $\operatorname{Pf}(BAB^{\mathsf{T}})=\det B\cdot\operatorname{Pf}(A)$ がただちに出ます。

この記事で使う事前知識

• テンソル積: 二つのベクトル空間から、両方について線形な写像を一つの線形写像として扱うための空間。→ テンソル積
• 外積代数: 反対称な積 $e_i\wedge e_k=-e_k\wedge e_i$ をもつ代数。→ テンソル積と外積代数
• 行列式: 正方行列に対し、置換の符号を付けた積の和で定まる数。→ 行列式
• 環と体: 足し算と掛け算ができる集合。掛け算の可換性や逆元の有無で分類される。→ 環と体の基礎
• Kronecker 積: 行列 $A$ と $B$ から、ブロックごとに $A$ の成分倍の $B$ を並べて作る大きな行列。→ テンソル積と外積代数

1. 動機

Dirac 方程式を書くには、$\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2\delta_{\mu\nu}$ を満たす行列 $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ が必要です。教科書ごとに具体的な行列の選び方（表示）は違いますが、物理の結果は表示によりません。その理由が「そのような行列の組は相似を除いて一つしかない」という Pauli の基本定理です。荷電共役や Majorana 条件のような操作も、この一意性から存在が保証されます。

一方、フェルミオンの経路積分では、互いに反可換な「変数」$\theta_i\theta_j=-\theta_j\theta_i$ を使います（格子フェルミオン）。これは外積代数そのものです。さらに、フェルミオン演算子の反交換関係 $\{a_i,a_j^{*}\}=\delta_{ij}$（CCR・CAR 代数 の 定義 3.1［CCR・CAR 代数と準自由状態］）は、$a_i+a_i^{*}$ と $i(a_i-a_i^{*})$ を考えれば Clifford 関係式になります。

この記事では、これらを「関係式で定まる代数」として一つの枠組みで扱います。外積代数（$q=0$）と Clifford 代数（$q\ne0$）を同時に構成し、偶奇の構造を超代数として抽出し、複素 Clifford 代数の構造を決め、最後に Grassmann 代数の積分に進みます。以下、$K$ は標数が $2$ でない体（主に $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$）、代数は単位元をもつ結合代数とします。

2. 超代数と次数付きテンソル積

定義 2.1（超代数）↗

$K$ 上の代数 $A$ が、部分空間の直和 $A=A_0\oplus A_1$ に分解され、$A_aA_b\subseteq A_{a+b}$（添字は $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$ で足す）を満たすとき、$A$ を超代数（$\mathbb{Z}_2$ 次数付き代数）という。$A_0$ の元を偶、$A_1$ の元を奇といい、$a\in A_{|a|}$ と書いて $|a|$ を $a$ の次数（偶奇）という。すべての斉次元 $a,b$ について $ab=(-1)^{|a||b|}ba$ が成り立つとき、$A$ は超可換であるという。

斉次元 $a,b$ の超交換子を $[a,b\}=ab-(-1)^{|a||b|}ba$ と定めます。超可換とは超交換子がすべて $0$ になることです。たとえば、$K^{p}\oplus K^{q}$ に偶奇を入れて、その上の線形写像の全体 $M_{p|q}(K)$ を考えると、ブロック対角な行列が偶、ブロック反対角な行列が奇で、超代数になります。

定義 2.2（次数付きテンソル積）↗

超代数 $A,B$ に対し、ベクトル空間 $A\otimes B$ に次数 $|a\otimes b|=|a|+|b|$ と、斉次元についての積

$$(a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}\,aa'\otimes bb'$$

を（双線形に延ばして）入れたものを次数付きテンソル積といい、$A\mathbin{\hat\otimes}B$ と書く。

符号 $(-1)^{|b||a'|}$ は「$b$ と $a'$ を入れ替えた分」です。奇の元どうしの入れ替えで $-1$ が付く、という規則をそのまま書いたものです。

命題 2.3（次数付きテンソル積は超代数）✓

$A\mathbin{\hat\otimes}B$ は単位元 $1\otimes1$ をもつ結合的な超代数である。$a\otimes1$ と $1\otimes b$ は $(1\otimes b)(a\otimes1)=(-1)^{|a||b|}(a\otimes1)(1\otimes b)$ を満たす。

証明（命題 2.3）

積が well-defined であることは、右辺が $(a,b,a',b')$ について多重線形なので、テンソル積の普遍性（定義 3.1［テンソル積と外積代数］）から従います。結合法則は斉次元で確かめれば十分です。

$$\bigl((a\otimes b)(a'\otimes b')\bigr)(a''\otimes b'')=(-1)^{|b||a'|+(|b|+|b'|)|a''|}aa'a''\otimes bb'b'',$$$$(a\otimes b)\bigl((a'\otimes b')(a''\otimes b'')\bigr)=(-1)^{|b'||a''|+|b|(|a'|+|a''|)}aa'a''\otimes bb'b''$$

で、指数はどちらも $|b||a'|+|b||a''|+|b'||a''|$ です。次数の加法性と単位元は定義から明らかで、最後の等式は定義の符号で $a'=a$、$b=1$ などとおいたものです。

∎

3. Clifford 代数と外積代数

$q=(q_1,\dots,q_n)\in K^n$ を固定します。これは対角な二次形式 $Q(x)=\sum_iq_ix_i^2$ を表します（実対称行列はスペクトル定理で対角化できるので、$\mathbb{R}$ 上の非退化な二次形式はすべてこの形にできます）。添字の集合 $I=\{i_1<\cdots<i_k\}\subseteq\{1,\dots,n\}$ について、単項式を $e_I=e_{i_1}\cdots e_{i_k}$（$e_\emptyset=1$）と書きます。

次の補題は、単項式どうしの積を「符号 × 単項式」の形に直す計算規則です。以後の計算はすべてこれに頼ります。符号の個数 $N(I,J)$ は、並べ替えで元を何回追い越すかの数です。たとえば $I=\{1,3\}$、$J=\{2\}$ のとき、$a_1a_3a_2$ で $a_2$ を左へ動かすと $a_3$ を 1 回だけ追い越すので、$a_1a_3a_2=-a_1a_2a_3$ となります。条件を満たす組は $(3,2)$ の 1 つだけなので $N(I,J)=1$ で、符号と合います。

補題 3.1（単項式の積の公式）✓

代数 $A$ の元 $a_1,\dots,a_n$ が $a_ia_k+a_ka_i=2q_i\delta_{ik}$（$1\le i,k\le n$）を満たすとする。$a_I=a_{i_1}\cdots a_{i_k}$ とおくと、

$$a_Ia_J=(-1)^{N(I,J)}\Bigl(\prod_{i\in I\cap J}q_i\Bigr)a_{I\triangle J},\qquad N(I,J)=\#\{(i,j)\in I\times J: i>j\}.$$

証明（補題 3.1）

$a_Ia_J$ で、$J$ の元を小さい順に左へ移して、$I$ の元の正しい位置に入れます。$j\in J$ が自分より大きい $I$ の元を 1 つ追い越すたびに $a_ia_j=-a_ja_i$（$i\ne j$）で符号 $-1$ が付き、合計で $(-1)^{N(I,J)}$ です（追い越す相手は $I$ の元だけで、$J$ どうしは並びが保たれます）。並べ替えた後、$j\in I\cap J$ では $a_ja_j=q_j$ となって消え、残りは $I\triangle J$ の元が増加順に並んだ単項式です。

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この公式が関係式だけから導かれたことが要点です。関係式を満たす代数ならどこでも、単項式の積は同じ規則で計算できます。

定理 3.2（Clifford 代数の存在・基底・普遍性）✓

次の性質をもつ $K$ 上の代数 $\mathrm{Cl}(q)$ と元 $e_1,\dots,e_n\in\mathrm{Cl}(q)$ が存在する。

1. $e_ie_k+e_ke_i=2q_i\delta_{ik}$。
2. $2^n$ 個の単項式 $e_I$ は $\mathrm{Cl}(q)$ の基底である。
3. （普遍性）代数 $A$ の元 $a_1,\dots,a_n$ が 1 と同じ関係式を満たすなら、代数の準同型 $\Phi:\mathrm{Cl}(q)\to A$ で $\Phi(e_i)=a_i$ となるものがただ一つ存在する。
4. $|I|$ が偶数の $e_I$ が張る部分空間を $\mathrm{Cl}(q)_0$、奇数のものを $\mathrm{Cl}(q)_1$ とすると、$\mathrm{Cl}(q)$ は超代数である。

3 により $\mathrm{Cl}(q)$ は同型を除いて一意に定まり、Clifford 代数という。$q=0$ のときは外積代数（Grassmann 代数）という。

証明（定理 3.2）

$2^n$ 次元の空間 $F$ に基底 $f_J$（$J\subseteq\{1,\dots,n\}$）を取り、$s_i(J)=(-1)^{\#\{j\in J: j<i\}}$ として線形写像 $c_i:F\to F$ を

$$c_if_J=\begin{cases}s_i(J)\,f_{J\cup\{i\}}&(i\notin J)\\ s_i(J)\,q_i\,f_{J\setminus\{i\}}&(i\in J)\end{cases}$$

で定めます（$q=0$ なら $c_i$ は「$f_i$ を左から外積する」写像です）。

関係式。 $i\notin J$ なら $c_ic_if_J=s_i(J)c_if_{J\cup\{i\}}=s_i(J)s_i(J\cup\{i\})q_if_J=q_if_J$（$i$ 自身は $j<i$ に数えないので $s_i(J\cup\{i\})=s_i(J)$）で、$i\in J$ も同様です。$i<k$ のとき、$c_kc_if_J$ と $c_ic_kf_J$ はどちらも $f_{J\triangle\{i,k\}}$ の同じ $q$ の積倍で、符号は、$c_i$ を先に作用させると $k$ の側の数え上げ $\#\{j<k\}$ が $i$ の出し入れの分だけ 1 ずれ、$c_k$ を先に作用させても $i$ の側の数え上げは変わらない（$k>i$）ので、ちょうど $-1$ 倍違います。よって $c_ic_k=-c_kc_i$ です。

基底。 $\mathrm{Cl}(q)$ を $\operatorname{End}(F)$ の中で $c_1,\dots,c_n$ が生成する部分代数とし、$e_i=c_i$ とします。補題 3.1 により単項式の積は単項式の定数倍なので、$\mathrm{Cl}(q)$ は $e_I$ たちで張られます。一方 $e_If_\emptyset=c_{i_1}\cdots c_{i_k}f_\emptyset$ は、右から順に作用させると毎回それまでより小さい添字を足すので符号は $+$ で、$e_If_\emptyset=f_I$ です。$f_I$ は一次独立なので $e_I$ も一次独立です。

普遍性。 $\Phi(e_I)=a_I$ で線形写像を定めると、補題 3.1 が $\mathrm{Cl}(q)$ でも $A$ でも同じ形で成り立つので $\Phi(e_Ie_J)=\Phi(e_I)\Phi(e_J)$、すなわち $\Phi$ は準同型です。準同型は生成元の像で決まるので一意です。

次数。 補題 3.1 で $|I\triangle J|\equiv|I|+|J|\pmod2$ なので $\mathrm{Cl}(q)_a\mathrm{Cl}(q)_b\subseteq\mathrm{Cl}(q)_{a+b}$ です。

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外積代数は、テンソル積と外積代数 の $\Lambda V$（命題 5.5［テンソル積と外積代数］）と同じものです。実際 $\Lambda V$ でも $e_i\wedge e_k=-e_k\wedge e_i$、$e_i\wedge e_i=0$ が成り立ち、定理 5.3［テンソル積と外積代数］ の基底が $e_I$ に対応します。外積代数は超可換です（補題 3.1 で $I\cap J=\emptyset$ のとき $N(I,J)+N(J,I)=|I||J|$）。

例 3.3（小さな実 Clifford 代数）

$\mathbb{R}$ 上で、$e_i^2=+1$ の生成元 $p$ 個と $e_i^2=-1$ の生成元 $q$ 個の Clifford 代数を $\mathrm{Cl}_{p,q}$ と書きます。

1. $\mathrm{Cl}_{0,1}\cong\mathbb{C}$：$e_1^2=-1$ なので $a+be_1\mapsto a+bi$ が同型です。
2. $\mathrm{Cl}_{0,2}\cong\mathbb{H}$（四元数）：$i=e_1$、$j=e_2$、$k=e_1e_2$ とおくと $i^2=j^2=-1$、$k^2=e_1e_2e_1e_2=-e_1^2e_2^2=-1$、$ij=k$ で、Hamilton の関係式そのものです。
3. $\mathrm{Cl}_{2,0}\cong M_2(\mathbb{R})$：$e_1\mapsto\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$、$e_2\mapsto\sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ は関係式を満たし、像 $1,\sigma_1,\sigma_3,\sigma_1\sigma_3=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ は $M_2(\mathbb{R})$ の基底なので、次元比較から同型です。
4. $\mathrm{Cl}_{1,0}\cong\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$：$e_1\mapsto(1,-1)$ が同型です。

符号を変えるだけで $\mathbb{C}$、$\mathbb{H}$、行列環、直和と、構造がまったく変わります。

定理 3.4（直交和と次数付きテンソル積）✓

$q\in K^n$、$q'\in K^m$ を並べた $(q,q')\in K^{n+m}$ について、超代数として $\mathrm{Cl}(q,q')\cong\mathrm{Cl}(q)\mathbin{\hat\otimes}\mathrm{Cl}(q')$ である。とくに外積代数について $\Lambda(K^{n+m})\cong\Lambda(K^n)\mathbin{\hat\otimes}\Lambda(K^m)$ である。

証明（定理 3.4）

$\mathrm{Cl}(q)\mathbin{\hat\otimes}\mathrm{Cl}(q')$ の元 $a_i=e_i\otimes1$（$i\le n$）、$a_{n+k}=1\otimes e'_k$（$k\le m$）を考えます。命題 2.3 から $a_ia_k=e_ie_k\otimes1$、$a_{n+k}a_{n+l}=1\otimes e'_ke'_l$ で、奇の元どうしなので $(1\otimes e'_k)(e_i\otimes1)=-(e_i\otimes1)(1\otimes e'_k)$ です。よって $a_1,\dots,a_{n+m}$ は $(q,q')$ の関係式を満たし、定理 3.2 の 3 により準同型 $\Phi$ が得られます。像は $a_Ia_{n+K}=e_I\otimes e'_K$ を含み、これらは基底をなすので $\Phi$ は全射で、両辺の次元は $2^{n+m}$ なので同型です。$\Phi$ は生成元の偶奇を保つので、次数も保ちます。

∎

4. 複素 Clifford 代数と γ 行列

$\mathbb{C}$ 上では符号は $e_j\mapsto ie_j$ で取り替えられるので、$q=(1,\dots,1)$ の $\mathrm{Cl}_n(\mathbb{C})$ だけを考えれば十分です。Pauli 行列を

$$\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad\sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad\sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

とします。$\sigma_a^2=1$、$a\ne b$ なら $\sigma_a\sigma_b=-\sigma_b\sigma_a$、$\sigma_1\sigma_2=i\sigma_3$ です。$m\ge1$ について、$2^m$ 次の行列を Kronecker 積（命題 3.7［テンソル積と外積代数］）で

$$\gamma_{2k-1}=\sigma_3^{\otimes(k-1)}\otimes\sigma_1\otimes1^{\otimes(m-k)},\qquad\gamma_{2k}=\sigma_3^{\otimes(k-1)}\otimes\sigma_2\otimes1^{\otimes(m-k)}\qquad(k=1,\dots,m),$$

$\gamma_{2m+1}=\sigma_3^{\otimes m}$ と定めます。

補題 4.1（γ 行列の関係式とトレース）✓

1. $\gamma_1,\dots,\gamma_{2m+1}$ は $\gamma_j\gamma_k+\gamma_k\gamma_j=2\delta_{jk}$ を満たし、$\gamma_{2m+1}=(-i)^m\gamma_1\cdots\gamma_{2m}$ である。
2. $I\subseteq\{1,\dots,2m\}$ が空でなければ $\operatorname{tr}\gamma_I=0$ である。
3. $4^m$ 個の行列 $\gamma_I$（$I\subseteq\{1,\dots,2m\}$）は $M_{2^m}(\mathbb{C})$ の基底である。

証明（補題 4.1）

1. Kronecker 積は成分ごとに掛け算されます（$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$。純テンソル上で両辺が一致することから従う）。各 $\gamma_j$ の 2 乗は各成分の 2 乗が $1$ なので $1$ です。$j\ne k$ のとき、$\gamma_j$ と $\gamma_k$ を比べると、ちょうど 1 つの成分で「$\sigma_1$ か $\sigma_2$」と「異なる Pauli 行列」が向き合い（反可換）、他の成分は $1$ か同じ $\sigma_3$ どうしで可換なので、全体で反可換です。たとえば $\gamma_{2k-1}$ と $\gamma_{2l}$（$k<l$）では第 $k$ 成分で $\sigma_1$ と $\sigma_3$ が向き合います。最後の等式は $\gamma_{2k-1}\gamma_{2k}=1^{\otimes(k-1)}\otimes i\sigma_3\otimes1^{\otimes(m-k)}$ を $k=1,\dots,m$ について掛ければ得られます。

2. $|I|$ が偶数なら $k\in I$ を、奇数なら $k\notin I$（$|I|\le2m-1$ なので存在）を取ると、どちらの場合も $\gamma_k\gamma_I=-\gamma_I\gamma_k$ です（$\gamma_k$ は $I$ の自分以外の元と反可換で、その個数が奇数）。$\gamma_k^2=1$ とトレースの巡回性から $\operatorname{tr}\gamma_I=\operatorname{tr}(\gamma_k\gamma_I\gamma_k)=-\operatorname{tr}\gamma_I$ です。

3. 補題 3.1 から $\gamma_J\gamma_I$ は $\gamma_{I\triangle J}$ の $\pm1$ 倍で、$\gamma_J^2=\pm1$ です。$\sum_Ic_I\gamma_I=0$ に左から $\gamma_J$ を掛けてトレースを取ると、2 から $I\ne J$ の項は消え、$c_J\cdot(\pm2^m)=0$ です。よって一次独立で、個数 $4^m=\dim M_{2^m}(\mathbb{C})$ から基底です。

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定理 4.2（複素 Clifford 代数の構造）✓

1. $e_j\mapsto\gamma_j$ は同型 $\mathrm{Cl}_{2m}(\mathbb{C})\cong M_{2^m}(\mathbb{C})$ を与える。
2. $e_j\mapsto(\gamma_j,\gamma_j)$（$j\le2m$）、$e_{2m+1}\mapsto(\gamma_{2m+1},-\gamma_{2m+1})$ は同型 $\mathrm{Cl}_{2m+1}(\mathbb{C})\cong M_{2^m}(\mathbb{C})\oplus M_{2^m}(\mathbb{C})$ を与える。

証明（定理 4.2）

1. 補題 4.1 の 1 と 定理 3.2 の 3 から準同型が得られ、補題 4.1 の 3 から全射、次元がともに $4^m$ なので同型です。

2. 像の元は関係式を満たすので準同型 $\Phi$ が得られます。像は $(\gamma_I,\gamma_I)$ を含み、また

$$\Phi\bigl((-i)^me_1\cdots e_{2m}e_{2m+1}\bigr)=\bigl(\gamma_{2m+1}\gamma_{2m+1},\ -\gamma_{2m+1}\gamma_{2m+1}\bigr)=(1,-1)$$

（補題 4.1 の 1）を含みます。$(X,X)$ と $(X,X)(1,-1)=(X,-X)$ から $(X,0)$ と $(0,X)$ が得られ、$X$ は $\gamma_I$ の一次結合で $M_{2^m}(\mathbb{C})$ 全体を動くので、$\Phi$ は全射です。次元はともに $2\cdot4^m$ なので同型です。

∎

次の補題は、行列環の表現が「行列環そのものの何個かのコピー」しかないことを述べます。

補題 4.3（行列環の表現）✓

$\varphi:M_N(\mathbb{C})\to M_d(\mathbb{C})$ を単位元を保つ代数準同型とする。このとき $d=Nr$ となる $r\ge1$ と正則行列 $S$ があり、すべての $X$ について $\varphi(X)=S(X\otimes1_r)S^{-1}$ である。

証明（補題 4.3）

行列単位 $E_{ij}$ について $P_i=\varphi(E_{ii})$ とおくと、$P_iP_j=\delta_{ij}P_i$、$\sum_iP_i=\varphi(1)=1$ なので、$\mathbb{C}^d=\bigoplus_i\operatorname{Im}P_i$ です。$\varphi(E_{i1})$ は $\operatorname{Im}P_1$ から $\operatorname{Im}P_i$ への写像で、$\varphi(E_{1i})$ がその逆（$\varphi(E_{1i})\varphi(E_{i1})=P_1$、$\varphi(E_{i1})\varphi(E_{1i})=P_i$）なので、どの $\operatorname{Im}P_i$ も同じ次元 $r$ をもちます。$r=0$ なら $1=\sum P_i=0$ となるので $r\ge1$、$d=Nr$ です。$\operatorname{Im}P_1$ の基底 $v_1,\dots,v_r$ を取り、$S$ を $e_i\otimes e_a\mapsto\varphi(E_{i1})v_a$ で定めると、像は $\mathbb{C}^d$ の基底なので $S$ は正則で、

$$\varphi(E_{jk})S(e_i\otimes e_a)=\varphi(E_{jk}E_{i1})v_a=\delta_{ki}\varphi(E_{j1})v_a=S(E_{jk}e_i\otimes e_a)$$

です。$E_{jk}$ は $M_N(\mathbb{C})$ を張るので主張が従います。

∎

定理 4.4（Pauli の基本定理）✓

$n=2m$ とし、$d$ 次の複素行列 $\gamma'_1,\dots,\gamma'_n$ が $\gamma'_j\gamma'_k+\gamma'_k\gamma'_j=2\delta_{jk}$ を満たすとする。このとき $d$ は $2^m$ の倍数で、$d=2^m$ ならば正則行列 $S$ で $\gamma'_j=S\gamma_jS^{-1}$（すべての $j$）となるものが存在し、$S$ は定数倍を除いて一意である。

証明（定理 4.4）

定理 4.2 の 1 の同型 $\Psi:M_{2^m}(\mathbb{C})\to\mathrm{Cl}_{2m}(\mathbb{C})$ と、普遍性による $\mathrm{Cl}_{2m}(\mathbb{C})\to M_d(\mathbb{C})$（$e_j\mapsto\gamma'_j$）を合成すると、単位元を保つ準同型 $\varphi$ で $\varphi(\gamma_j)=\gamma'_j$ となるものが得られます。補題 4.3 から $d=2^mr$ で、$d=2^m$ なら $r=1$ で $\varphi(X)=SXS^{-1}$ です。$S,S'$ がともにそうなら $S^{-1}S'$ はすべての $\gamma_j$、したがって $M_{2^m}(\mathbb{C})$ 全体と可換で、行列単位 $E_{ij}$ との可換性から定数倍の単位行列です。

∎

定理 4.5（荷電共役行列）✓

$n=2m$、$\eta\in\{1,-1\}$ とする。正則行列 $C$ で $C\gamma_jC^{-1}=\eta\gamma_j^{\mathsf{T}}$（$j=1,\dots,n$）となるものが定数倍を除いてただ一つ存在し、

$$C^{\mathsf{T}}=\varepsilon C,\qquad \varepsilon=\eta^m(-1)^{m(m-1)/2}$$

が成り立つ。

証明の方針は二段です。まず存在と一意性は Pauli の基本定理に帰着させます。符号 $\varepsilon$ の決定は、基底 $C\gamma_I$ の中に対称なものと交代なものが何個ずつあるかを数え、行列の空間の次元と突き合わせて行います。

証明（定理 4.5）

存在と一意性。 $\gamma'_j=\eta\gamma_j^{\mathsf{T}}$ も $\gamma'_j\gamma'_k+\gamma'_k\gamma'_j=(\gamma_k\gamma_j+\gamma_j\gamma_k)^{\mathsf{T}}=2\delta_{jk}$ を満たすので、定理 4.4 から従います。

対称性。 関係式を転置すると $(C^{-1})^{\mathsf{T}}\gamma_j^{\mathsf{T}}C^{\mathsf{T}}=\eta\gamma_j$、すなわち $C^{\mathsf{T}}\gamma_j(C^{\mathsf{T}})^{-1}=\eta\gamma_j^{\mathsf{T}}$ なので、$C^{\mathsf{T}}$ も同じ関係式を満たし、一意性から $C^{\mathsf{T}}=\varepsilon C$ です。もう一度転置すると $\varepsilon^2=1$ です。

符号の決定。 $|I|=k$ について、転置で積の順序が逆になることと、$k$ 個の反可換な元の逆順の並べ替えが符号 $s_k=(-1)^{k(k-1)/2}$ を生むことから $\gamma_I^{\mathsf{T}}=\eta^ks_kC\gamma_IC^{-1}$ です。よって

$$(C\gamma_I)^{\mathsf{T}}=\gamma_I^{\mathsf{T}}C^{\mathsf{T}}=\varepsilon\,\eta^ks_k\,C\gamma_I .$$

$C\gamma_I$（$4^m$ 個）は $M_{2^m}(\mathbb{C})$ の基底（補題 4.1 の 3 に正則行列を掛けたもの）で、それぞれ対称か交代かです。対称行列の空間の次元は $N(N+1)/2$、交代行列は $N(N-1)/2$（$N=2^m$）なので、対称なものの個数から交代なものの個数を引くと $N$ です。したがって

$$\varepsilon\sum_{k=0}^{2m}\binom{2m}{k}\eta^ks_k=2^m .$$

$s_k=\operatorname{Re}\bigl((1-i)i^k\bigr)$（$k=0,1,2,3$ で $1,1,-1,-1$ と確かめられ、周期 4）を使うと、和は $\operatorname{Re}\bigl((1-i)(1+i\eta)^{2m}\bigr)=\operatorname{Re}\bigl((1-i)(2i\eta)^m\bigr)=2^m\eta^ms_m$ です（$(1+i\eta)^2=2i\eta$）。よって $\varepsilon=\eta^ms_m$ です。

∎

例 4.6（2 次元と 4 次元）

$m=1$ では $\gamma_1=\sigma_1$、$\gamma_2=\sigma_2$ です。$\sigma_1^{\mathsf{T}}=\sigma_1$、$\sigma_2^{\mathsf{T}}=-\sigma_2$ なので、$\eta=-1$ には $C=\sigma_2$（$\sigma_2\sigma_1\sigma_2=-\sigma_1$、$\sigma_2\sigma_2\sigma_2=\sigma_2$）が対応し、$C^{\mathsf{T}}=-C$ です。$\eta=1$ には $C=\sigma_1$ が対応し $C^{\mathsf{T}}=C$ です。どちらも $\varepsilon=\eta^1s_1=\eta$ に合っています。$m=2$（4 次元 Euclid の Dirac 行列）では $\varepsilon=\eta^2s_2=-1$ で、$\eta$ によらず $C$ は交代行列です。$\gamma_I C$ の対称性がこの符号で決まることが、Majorana フェルミオンが存在できる次元を決める仕組みです。

5. Grassmann 代数と Berezin 積分

$N$ 個の生成元をもつ $\mathbb{C}$ 上の外積代数を $\mathcal{G}_N$ とし、生成元を $\theta_1,\dots,\theta_N$ と書きます。$\theta_i\theta_j=-\theta_j\theta_i$、$\theta_i^2=0$ で、$\theta_I$（$I\subseteq\{1,\dots,N\}$）が基底です。偶元はすべての元と可換です（定理 3.2 直後の超可換性）。定数項が $0$ の偶元 $X$ は $X^{N+1}=0$ を満たすので $e^X=\sum_{k\le N}X^k/k!$ が有限和として定まり、可換な $X,Y$ について $e^{X+Y}=e^Xe^Y$ です（二項展開）。

通常の積分と同じ名前を使いますが、ここで定義するのは極限や面積を使わない純代数的な操作です。それでも積分と呼ぶのは、次の線形変数変換で通常の積分と同じ役割の公式が成り立つためです。

定義 5.1（Berezin 積分）↗

$f\in\mathcal{G}_N$ の基底展開における $\theta_1\theta_2\cdots\theta_N$ の係数を

$$\int d\theta\,f$$

と書き、$f$ の Berezin 積分という。

これは線形汎関数で、物理での記法 $\int d\theta_N\cdots d\theta_1$ と同じものです（格子フェルミオン の 定義 2.2［格子フェルミオン］）。積分というより「最高次の係数の取り出し」ですが、次の変数変換の公式が、通常の積分の $dx'=|\det L|\,dx$ に対応する（ただし逆向きの）規則を与えます。

補題 5.2（線形変数変換）✓

$L=(L_{ij})$ を $N$ 次の複素行列とし、$\theta'_i=\sum_jL_{ij}\theta_j$ とおく。$\theta'_1,\dots,\theta'_N$ の多項式 $f=p(\theta')$ について、$p$ の $\theta'_1\cdots\theta'_N$ の係数を $c$ とすると、$\int d\theta\,f=\det L\cdot c$ である。

証明（補題 5.2）

$\theta'_i$ はどれも奇元で $\theta'_i\theta'_j=-\theta'_j\theta'_i$、$(\theta'_i)^2=0$ を満たすので、$p(\theta')$ を $\theta'_I$ の一次結合として書けます。$|I|<N$ の項は $\theta$ について $N$ 次未満なので積分に寄与しません。最高次の項は

$$\theta'_1\cdots\theta'_N=\sum_{j_1,\dots,j_N}L_{1j_1}\cdots L_{Nj_N}\theta_{j_1}\cdots\theta_{j_N}=\sum_{\sigma\in S_N}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_iL_{i\sigma(i)}\,\theta_1\cdots\theta_N=\det L\cdot\theta_1\cdots\theta_N$$

です。添字が重なる項は $\theta_j^2=0$ で消え、$\theta_{\sigma(1)}\cdots\theta_{\sigma(N)}$ を並べ替えると $\operatorname{sgn}\sigma$ が出ます。最後の等号は行列式の定義（定義 3.1［行列式とその性質］）と転置不変性（命題 3.3［行列式とその性質］）です。

∎

定義 5.3（Pfaffian）↗

$N=2n$ 次の複素交代行列 $A=(a_{ij})$ について、$\frac12\theta^{\mathsf{T}}A\theta=\frac12\sum_{i,j}a_{ij}\theta_i\theta_j$ とおき、

$$\operatorname{Pf}(A)=\int d\theta\,\exp\Bigl(\frac12\theta^{\mathsf{T}}A\theta\Bigr)$$

と定める。

次の命題は、Berezin 積分で定めた Pfaffian が組合せ的な和に等しいことを示します。完全マッチングとは、点を重ならない対に分ける分け方のことです。たとえば $\{1,2,3,4\}$ なら $\{12\}\{34\}$、$\{13\}\{24\}$、$\{14\}\{23\}$ の 3 通りで、語 $1234$、$1324$、$1423$ の符号は $+1$、$-1$、$+1$ なので、$\operatorname{Pf}(A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}$ です。

命題 5.4（完全マッチングによる表示）✓

$\operatorname{Pf}(A)$ は、$\{1,\dots,2n\}$ の完全マッチング $\{\{i_1,j_1\},\dots,\{i_n,j_n\}\}$ にわたる和

$$\operatorname{Pf}(A)=\sum\operatorname{sgn}(i_1j_1i_2j_2\cdots i_nj_n)\,a_{i_1j_1}\cdots a_{i_nj_n}$$

に等しい（語の符号は、それを $1,2,\dots,2n$ に並べ替える置換の符号）。したがって 定義 4.2［グラフと行列式］ の Pfaffian と一致し、$\operatorname{Pf}(A)^2=\det A$ である。

証明（命題 5.4）

$a_{ji}\theta_j\theta_i=a_{ij}\theta_i\theta_j$ なので $\frac12\theta^{\mathsf{T}}A\theta=\sum_{i<j}a_{ij}\theta_i\theta_j$ です。各項は可換な偶元で $(\theta_i\theta_j)^2=0$ なので、

$$\exp\Bigl(\sum_{i<j}a_{ij}\theta_i\theta_j\Bigr)=\prod_{i<j}\bigl(1+a_{ij}\theta_i\theta_j\bigr).$$

展開して $2n$ 次の項を取り出すと、使う対 $\{i,j\}$ は互いに交わらない $n$ 個、すなわち完全マッチングで、偶元の積なので対の順序は自由です。$\theta_{i_1}\theta_{j_1}\cdots\theta_{i_n}\theta_{j_n}=\operatorname{sgn}(i_1j_1\cdots i_nj_n)\,\theta_1\cdots\theta_{2n}$ から主張の式が出ます。これは 定義 4.2［グラフと行列式］ の $t_A(M)$ の和そのもので（補題 4.1［グラフと行列式］）、最後の等式は 定理 4.3［グラフと行列式］ です。

∎

定理 5.5（Pfaffian の変換則）✓

$A$ を $2n$ 次の交代行列、$B$ を $2n$ 次の行列とすると、$\operatorname{Pf}(BAB^{\mathsf{T}})=\det B\cdot\operatorname{Pf}(A)$ である。

証明（定理 5.5）

$\theta'=B^{\mathsf{T}}\theta$ とおくと、$\theta^{\mathsf{T}}(BAB^{\mathsf{T}})\theta=\sum_{i,j,k,l}\theta_iB_{ik}a_{kl}B_{jl}\theta_j=\theta'^{\mathsf{T}}A\theta'$ です（$\theta'_k=\sum_iB_{ik}\theta_i$）。よって $\exp(\frac12\theta^{\mathsf{T}}BAB^{\mathsf{T}}\theta)=p(\theta')$、$p(\theta')=\exp(\frac12\theta'^{\mathsf{T}}A\theta')$ で、命題 5.4 の計算は生成元の反可換性しか使わないので、$p$ の $\theta'_1\cdots\theta'_{2n}$ の係数は $\operatorname{Pf}(A)$ です。補題 5.2（$L=B^{\mathsf{T}}$）から $\operatorname{Pf}(BAB^{\mathsf{T}})=\det B^{\mathsf{T}}\cdot\operatorname{Pf}(A)=\det B\cdot\operatorname{Pf}(A)$ です。

∎

組合せ論的な定義からこの変換則を直接示すのはかなり面倒ですが、Berezin 積分を使うと変数変換の 1 行で済みます。たとえば $B$ が直交行列で $BAB^{\mathsf{T}}$ が $2\times2$ ブロック $\begin{pmatrix}0&\lambda_k\\-\lambda_k&0\end{pmatrix}$ の対角和になるとき、$\operatorname{Pf}(A)=\det B\prod_k\lambda_k$ です。フェルミオンの Gauss 積分 $\int e^{-\bar\psi M\psi}=\det M$（定理 2.4［格子フェルミオン］）は、ブロック行列 $\begin{pmatrix}0&M\\-M^{\mathsf{T}}&0\end{pmatrix}$ の Pfaffian の特別な場合です（演習 6.3）。

注意 5.6

Clifford 代数の偶部分の可逆元のうち、$v\mapsto xvx^{-1}$ がベクトルの空間を保つものから Spin 群が作られます（行列 Lie 群と指数写像 の 定義 8.4［行列 Lie 群と指数写像］）。そこでの外積代数上の作用 $c(v)$（補題 8.3［行列 Lie 群と指数写像］）は、定理 3.2 の証明の表現 $c_i$ で $q_i=-1$ としたものと同じ構成です（$i\notin J$ の場合が外積 $\varepsilon(e_i)$、$i\in J$ の場合が $-\iota(e_i)$ に当たります）。

6. 演習

演習 6.1易

$\mathrm{Cl}_{1,1}$（$e_1^2=1$、$e_2^2=-1$）が $M_2(\mathbb{R})$ に同型であることを示せ。

解答

$e_1\mapsto\sigma_1$、$e_2\mapsto\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=:J$ とすると、$\sigma_1^2=1$、$J^2=-1$、$\sigma_1J=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}=-J\sigma_1$ なので、定理 3.2 の 3 から準同型が得られます。像 $1,\sigma_1,J,\sigma_1J=-\sigma_3$ は $M_2(\mathbb{R})$ の基底なので全射で、次元がともに $4$ なので同型です。

演習 6.2標準

$m=2$ の γ 行列について、$\gamma_5:=\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4$ が $\gamma_5^2=1$、$\gamma_5\gamma_j=-\gamma_j\gamma_5$（$j\le4$）を満たすことを関係式だけから示し、$\operatorname{tr}(\gamma_j\gamma_k)=4\delta_{jk}$、$\operatorname{tr}(\gamma_5\gamma_j\gamma_k)=0$ を求めよ。

解答

補題 3.1 で $I=J=\{1,2,3,4\}$ とすると $N(I,J)=6$ なので $\gamma_5^2=1$ です。$\gamma_j$ は $\gamma_5$ の 4 因子のうち自分以外の 3 個と反可換、自分自身と可換なので、$\gamma_j\gamma_5=(-1)^3\gamma_5\gamma_j$ です。$\operatorname{tr}(\gamma_j\gamma_k)$ は $j=k$ なら $\operatorname{tr}1=4$、$j\ne k$ なら 補題 4.1 の 2 から $0$ です。$\gamma_5\gamma_j\gamma_k$ は、$j=k$ なら $\gamma_5$、$j\ne k$ なら 2 元の集合 $\{1,2,3,4\}\setminus\{j,k\}$ の単項式の $\pm1$ 倍で、どちらも空でない $I$ の $\gamma_I$ なので、トレースは $0$ です（$\gamma_5=\gamma_{\{1,2,3,4\}}$ で、補題 4.1 の 2 は $|I|=4$ にも使えます）。

演習 6.3標準

$M$ を $n$ 次の行列とし、$A=\begin{pmatrix}0&M\\-M^{\mathsf{T}}&0\end{pmatrix}$ とする。$\operatorname{Pf}(A)=(-1)^{n(n-1)/2}\det M$ を示せ。

解答

$\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n,\theta_{n+1},\dots,\theta_{2n})$ と書くと $\frac12\theta^{\mathsf{T}}A\theta=\sum_{i,j\le n}M_{ij}\theta_i\theta_{n+j}$ です。各項 $\theta_i\theta_{n+j}$ は偶元で可換なので、$2n$ 次の項は

$$\frac{1}{n!}\Bigl(\sum_{i,j}M_{ij}\theta_i\theta_{n+j}\Bigr)^n=\sum_{\sigma\in S_n}\prod_iM_{i\sigma(i)}\ \theta_1\theta_{n+\sigma(1)}\theta_2\theta_{n+\sigma(2)}\cdots\theta_n\theta_{n+\sigma(n)}$$

です（$i$ がすべて異なり、$j$ もすべて異なる項だけが残り、対を $i$ の順に並べると $n!$ 通りの重複が $1/n!$ と打ち消します）。まず $\theta_2,\theta_3,\dots,\theta_n$ を順に左へ移して $\theta_1\cdots\theta_n\,\theta_{n+\sigma(1)}\cdots\theta_{n+\sigma(n)}$ にします。$\theta_k$ は $k-1$ 個の奇元を追い越すので、符号は $(-1)^{\sum_k(k-1)}=(-1)^{n(n-1)/2}$ です。次に $\theta_{n+\sigma(1)}\cdots\theta_{n+\sigma(n)}=\operatorname{sgn}\sigma\cdot\theta_{n+1}\cdots\theta_{2n}$ です。よって $\operatorname{Pf}(A)=(-1)^{n(n-1)/2}\sum_\sigma\operatorname{sgn}\sigma\prod_iM_{i\sigma(i)}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M$ です。$\operatorname{Pf}(A)^2=\det A=\det(M)^2$ とも合っています。

参考文献

• H. B. Lawson and M.-L. Michelsohn, Spin Geometry, Princeton University Press, 1989 — 第 I 章（Clifford 代数の構成と分類、Bott 周期性）。
• P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, 2nd ed., Cambridge University Press, 2001 — Clifford 代数の具体的な表示と荷電共役。
• F. A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, 1966 — Grassmann 代数上の積分。
• P. Deligne et al. (eds.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Vol. 1, AMS, 1999 — 第 1 部 “Notes on Supersymmetry”（超代数・次数付きテンソル積・Berezin 積分）。
• W. Pauli, “Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac”, Ann. Inst. H. Poincaré 6 (1936), 109–136.