数学 › 代数学（群・環・体） › 外積代数・Clifford 代数・超代数

完全マッチングによる表示

命題 5.4（「外積代数・Clifford 代数・超代数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\operatorname{Pf}(A)$ は、 $\{1,\dots,2n\}$ の完全マッチング $\{\{i_1,j_1\},\dots,\{i_n,j_n\}\}$ にわたる和

\operatorname{Pf}(A)=\sum\operatorname{sgn}(i_1j_1i_2j_2\cdots i_nj_n)\,a_{i_1j_1}\cdots a_{i_nj_n}

に等しい（語の符号は、それを $1,2,\dots,2n$ に並べ替える置換の符号）。したがって定義 4.2［グラフと行列式］の Pfaffian と一致し、 $\operatorname{Pf}(A)^2=\det A$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Pfaffian定義 4.2・グラフと行列式
項は並べ方によらない✓補題 4.1・グラフと行列式
Pfaffian の 2 乗は行列式✓定理 4.3・グラフと行列式
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Pfaffian の変換則✓定理 5.5・外積代数・Clifford 代数・超代数
相空間の体積の保存（リウヴィルの定理）✓系 7.5・正準変換とポアソン括弧

関連するノック 2 問