Clifford 代数の存在・基底・普遍性

次の性質をもつ $K$ 上の代数 $\mathrm{Cl}(q)$ と元 $e_1,\dots,e_n\in\mathrm{Cl}(q)$ が存在する。

1. $e_ie_k+e_ke_i=2q_i\delta_{ik}$。
2. $2^n$ 個の単項式 $e_I$ は $\mathrm{Cl}(q)$ の基底である。
3. （普遍性）代数 $A$ の元 $a_1,\dots,a_n$ が 1 と同じ関係式を満たすなら、代数の準同型 $\Phi:\mathrm{Cl}(q)\to A$ で $\Phi(e_i)=a_i$ となるものがただ一つ存在する。
4. $|I|$ が偶数の $e_I$ が張る部分空間を $\mathrm{Cl}(q)_0$、奇数のものを $\mathrm{Cl}(q)_1$ とすると、$\mathrm{Cl}(q)$ は超代数である。

3 により $\mathrm{Cl}(q)$ は同型を除いて一意に定まり、Clifford 代数という。$q=0$ のときは外積代数（Grassmann 代数）という。