数学 › 高校数学：図形と幾何 › 立体の体積・球面・多面体
Euler の多面体定理
凸多面体の頂点・辺・面の個数について である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 180 件、定義なども含めて 208 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
凸多面体の面の構造✓定理 6.4・立体の体積・球面・多面体
直線・平面・球面の方程式✓命題 3.1・空間座標と空間ベクトル
外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質 この先をたどる →
- 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
- グラム行列式✓系 5.3・行列の固有値評価と不等式 この先をたどる →
- コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
半平面の共通部分としての凸多角形✓補題 6.3・立体の体積・球面・多面体
- 半平面✓命題 6.1・図形と方程式
- 半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体（上で展開済み）
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する この先をたどる →
- 符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標 この先をたどる →
- 靴ひも公式✓定理 7.2・図形と方程式（上で展開済み）
半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体
- Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列）✓定理 4.1・式と証明 この先をたどる →
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
- 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体
- 半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体（上で展開済み）
ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
- 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性 この先をたどる →
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
- コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性 この先をたどる →
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 球帯の面積（Archimedes）✓定理 4.2・立体の体積・球面・多面体 この先をたどる →
- 凸多面体の面の構造✓定理 6.4・立体の体積・球面・多面体（上で展開済み）
靴ひも公式✓定理 7.2・図形と方程式
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式 この先をたどる →
- 符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標 この先をたどる →
Girard の定理✓定理 5.4・立体の体積・球面・多面体
- 球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 月形・扇形の面積✓補題 5.3・立体の体積・球面・多面体 この先をたどる →
頂点のまわりの角の和✓補題 6.6・立体の体積・球面・多面体
- 月形・扇形の面積✓補題 5.3・立体の体積・球面・多面体 この先をたどる →
- 多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- Descartes の角欠損の定理✓系 6.8・立体の体積・球面・多面体
- 正多面体は 5 種類✓定理 7.2・立体の体積・球面・多面体