凸多面体の面の構造

定理 6.4（「立体の体積・球面・多面体」§6）・ ✓公理まで証明済み

凸多面体 $P$ （定義 6.1）について、次が成り立つ。

(P1) 各面 $F$ は、その平面の直交座標で見て凸多角形 $A_1A_2\cdots A_n$ （ $n\ge3$ 、定義 5.5［合同と相似］）であり、その頂点 $A_1,\dots,A_n$ は、 $F$ に含まれる $P$ の頂点のすべてである。 $F$ は三角形 $A_1A_kA_{k+1}$ （ $k=2,\dots,n-1$ ）の和集合である（扇形分割）。
(P2) 各面の辺は $P$ の辺である。 $P$ の各辺はちょうど 2 つの面に含まれ、その 2 つの面の両方で辺になっている。 $P$ の辺の両端は $P$ の頂点で、辺はそれ以外の頂点を含まない。
(P3) 相異なる 2 つの面の共通部分は、空、1 つの頂点、1 本の辺のいずれかである。
(P4) $P$ の各頂点 $v$ について、 $v$ を含む面の個数と $v$ を含む辺の個数は等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 124 件、定義なども含めて 148 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

直線・平面・球面の方程式✓命題 3.1・空間座標と空間ベクトル
- 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
- 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
- 直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
- グラム行列式✓系 5.3・行列の固有値評価と不等式
  - コーシー・ビネの公式✓定理 5.2・行列の固有値評価と不等式この先をたどる →
- コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
半平面の共通部分としての凸多角形✓補題 6.3・立体の体積・球面・多面体
- 半平面✓命題 6.1・図形と方程式
- 半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体（上で展開済み）
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
  - exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- 符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標
  - 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
  - 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 点の存在範囲と凸結合✓定理 5.4・平面ベクトルと座標この先をたどる →
  - 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分この先をたどる →
- 靴ひも公式✓定理 7.2・図形と方程式
  - 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
  - 三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式この先をたどる →
  - 符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標（上で展開済み）
半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体
- Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列）✓定理 4.1・式と証明
  - 判別式で示す不等式✓命題 7.2・2 次関数この先をたどる →
  - 平方完成✓補題 3.1・2 次関数この先をたどる →
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
- 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体
Euler の多面体定理✓定理 6.7・立体の体積・球面・多面体
Descartes の角欠損の定理✓系 6.8・立体の体積・球面・多面体
正多面体は 5 種類✓定理 7.2・立体の体積・球面・多面体

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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