数学 › 高校数学：図形と幾何 › 立体の体積・球面・多面体

半平面・半空間の共通部分の基本性質

補題 6.2（「立体の体積・球面・多面体」§6） ・ ✓公理まで証明済み

d=2d=2 または d=3d=3 とし、K={y∈Rd∣aj⋅y≤bj (j=1,…,M)}K=\{\boldsymbol y\in\mathbb{R}^d\mid\boldsymbol a_j\cdot\boldsymbol y\le b_j\ (j=1,\dots,M)\}（aj≠0\boldsymbol a_j\ne\boldsymbol 0）とする。y∈K\boldsymbol y\in K で aj⋅y=bj\boldsymbol a_j\cdot\boldsymbol y=b_j となるとき、不等式 jj は y\boldsymbol y で効くということにする。

  1. KK は閉集合で、KK の内部は {y∣aj⋅y<bj (j=1,…,M)}\{\boldsymbol y\mid\boldsymbol a_j\cdot\boldsymbol y<b_j\ (j=1,\dots,M)\} である。したがって KK の境界の点では、どれかの不等式が効く。
  2. 不等式 jj が y∈K\boldsymbol y\in K で効き、y=(1−t)u+tu′\boldsymbol y=(1-t)\boldsymbol u+t\boldsymbol u'（u,u′∈K\boldsymbol u,\boldsymbol u'\in K、0<t<10<t<1）ならば、jj は u\boldsymbol u でも u′\boldsymbol u' でも効く。
  3. y∈K\boldsymbol y\in K が KK の端点であるための必要十分条件は、y\boldsymbol y で効く不等式の aj\boldsymbol a_j の中に 1 次独立な dd 個があることである。とくに KK の端点は有限個である。
  4. KK が有界で原点を内部に含むとする。単位ベクトル e\boldsymbol e に対し、半直線 {τe∣τ≥0}\{\tau\boldsymbol e\mid\tau\ge0\} と KK の共通部分は {τe∣0≤τ≤ρ}\{\tau\boldsymbol e\mid0\le\tau\le\rho\}（ρ>0\rho>0）の形で、このうち KK の境界にある点は ρe\rho\boldsymbol e だけである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 28 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件