半平面の共通部分としての凸多角形

補題 6.3（「立体の体積・球面・多面体」§6）・ ✓公理まで証明済み

平面の有界な集合 $K=\{\boldsymbol y\in\mathbb{R}^2\mid\boldsymbol a_j\cdot\boldsymbol y\le b_j\ (j=1,\dots,M)\}$ （ $\boldsymbol a_j\ne\boldsymbol 0$ ）が、一直線上にない 3 点を含むとする。 $\ell_j=\{\boldsymbol y\mid\boldsymbol a_j\cdot\boldsymbol y=b_j\}$ とおく。

$K$ の端点は $n\ge3$ 個あり、番号を適当に付けて $A_1,\dots,A_n$ とすると、 $i<j<k$ のすべてについて $S(A_i,A_j,A_k)>0$ （定義 6.1［平面ベクトルと座標］）となる。すなわち $A_1A_2\cdots A_n$ は反時計回りの凸 $n$ 角形（定義 5.5［合同と相似］）である。 $K$ は凸結合 $\sum_k\lambda_kA_k$ （ $\lambda_k\ge0$ 、 $\sum_k\lambda_k=1$ ）の全体に等しく、三角形 $A_1A_kA_{k+1}$ （ $k=2,\dots,n-1$ ）の和集合である。
線分 $A_kA_{k+1}$ （ $k=1,\dots,n$ 、 $A_{n+1}=A_1$ ）を $K$ の辺とよぶ。各辺は、ある $j$ について $K\cap\ell_j$ に等しく、両端以外に $K$ の端点を含まない。したがって $A_k$ を含む辺は $A_{k-1}A_k$ と $A_kA_{k+1}$ の 2 本だけで（ $A_0=A_n$ ）、この 2 本は相異なる直線上にある。
各 $j$ について、 $K\cap\ell_j$ は空集合、 $K$ の 1 つの端点、 $K$ の 1 本の辺のいずれかである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 121 件、定義なども含めて 145 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

半平面✓命題 6.1・図形と方程式
半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体
- Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列）✓定理 4.1・式と証明
  - 判別式で示す不等式✓命題 7.2・2 次関数
    平方完成✓補題 3.1・2 次関数（上で展開済み）
  - 平方完成✓補題 3.1・2 次関数
    実数の計算規則✓命題 2.2・数と式この先をたどる →
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
  - グラム行列式✓系 5.3・行列の固有値評価と不等式
    コーシー・ビネの公式✓定理 5.2・行列の固有値評価と不等式この先をたどる →
  - コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
  - ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定この先をたどる →
  - 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定この先をたどる →
  - 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
- exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
- 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
  - 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 点の存在範囲と凸結合✓定理 5.4・平面ベクトルと座標
  - 凸集合・凸包定義 5.3・平面ベクトルと座標
  - 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分
  - 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分この先をたどる →
- 一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分この先をたどる →
靴ひも公式✓定理 7.2・図形と方程式
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

凸多面体の面の構造✓定理 6.4・立体の体積・球面・多面体

半平面の共通部分としての凸多角形

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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