直線・平面・球面の方程式

命題 3.1（「空間座標と空間ベクトル」§3）・ ✓公理まで証明済み

異なる 2 点 $A,B$ を通る直線は $\{A+t(B-A)\mid t\in\mathbb{R}\}$ である。
$u,v$ を 1 次独立なベクトル、 $n=u\times v$ とすると $n\neq0$ で、 $A$ を通り $u,v$ で張られる平面 $\{A+su+tv\mid s,t\in\mathbb{R}\}$ は $\{X\mid n\cdot(X-A)=0\}$ に等しい（ $n$ を法線ベクトルという）。3 点 $A,B,C$ が一直線上になければ、これらを通る平面がただ 1 つあり、 $u=B-A$ 、 $v=C-A$ とすればよい。
逆に、 $n\ne0$ のとき $\{X\mid n\cdot(X-A)=0\}$ は 1 次独立な 2 つのベクトルで張られる平面である。
中心 $C$ 、半径 $r>0$ の球面は $\{X\mid|X-C|=r\}$ 、すなわち $\sum(x_i-c_i)^2=r^2$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
- グラム行列式✓系 5.3・行列の固有値評価と不等式
  - コーシー・ビネの公式✓定理 5.2・行列の固有値評価と不等式
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
    多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化

これを使っている定理証明で参照している 2 件

凸多面体の面の構造✓定理 6.4・立体の体積・球面・多面体
四面体の体積✓定理 7.2・空間座標と空間ベクトル

直線・平面・球面の方程式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件