数学 › 高校数学：図形と幾何 › 立体の体積・球面・多面体

球帯の面積（Archimedes）

定理 4.2（「立体の体積・球面・多面体」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 123 件、定義なども含めて 145 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度

      • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • 例外集合を許す変数変換公式✓系 5.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 単射な局所微分同相は微分同相✓補題 4.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
    • 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 5.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 極座標側のボレル集合族✓補題 6.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • ボレル集合族の直積✓命題 2.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • 球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
    • リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
• cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

  • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  • ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束

    • 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束 この先をたどる →
  • 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

    • 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
    • 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法 この先をたどる →
  • 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束

    • 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
    • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    • 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束 この先をたどる →
• 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分

  • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

    • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
• 逆三角関数定義 9.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体

関連するノック 1 問

• 高校数学（図形） 第 79 問