内分点・外分点

$A\ne B$ とし、$m,n>0$ とする。

1. $P=\dfrac{n\boldsymbol a+m\boldsymbol b}{m+n}$ は線分 $AB$ 上にあり、$AP:PB=m:n$ である（内分点）。
2. $m\ne n$ のとき、$Q=\dfrac{-n\boldsymbol a+m\boldsymbol b}{m-n}$ は直線 $AB$ 上で線分 $AB$ の外にあり、$AQ:QB=m:n$ である（外分点）。
3. 直線 $AB$ 上の点で $AP:PB=m:n$ となるものは、$m\ne n$ なら上の 2 点だけ、$m=n$ なら中点だけである。