内積の性質

$\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\in\mathbb{R}^2$、$k\in\mathbb{R}$ とする。

1. $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$、$(k\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=k\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$。
2. $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a\ge0$ で、等号は $\boldsymbol a=\boldsymbol 0$ のときに限る。$|k\boldsymbol a|=|k||\boldsymbol a|$。
3. $|\boldsymbol a\pm\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a|^2\pm2\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2$。
4. （ラグランジュの恒等式）$(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2+\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2$。
5. （コーシー・シュワルツの不等式）$|\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b|\le|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$。等号は $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が 1 次従属のときに限る。
6. （三角不等式）$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\le|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。