角の二等分線の定理

三角形 $ABC$ で $a=|BC|$、$b=|CA|$、$c=|AB|$ とする。

1. 辺 $BC$ 上の点 $D$ について、$\angle BAD=\angle DAC\iff|BD|:|DC|=c:b$。
2. $b\ne c$ のとき、$A$ を通り $\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w}$（$\hat{\boldsymbol u}=\overrightarrow{AB}/c$、$\hat{\boldsymbol w}=\overrightarrow{AC}/b$）を方向ベクトルとする直線（外角の二等分線）は直線 $BC$ とただ 1 点 $D'$ で交わり、$D'$ は線分 $BC$ の外にあって $|D'B|:|D'C|=c:b$ である。$b=c$ のときこの直線は $BC$ に平行である。