# 合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する

> 距離を保つ写像が直交行列と平行移動の合成であることから出発し、三角形の合同条件・相似条件・平行線と角・内角の和 π・辺と角の大小・角の二等分線の定理を、ユークリッドの公準を使わずに証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/hs-geometry/congruence-and-similarity

## 0. この記事の要点

中学では、2 つの三角形が「ぴったり重なる」ことを合同と呼び、図を見て三角形の合同条件や内角の和が $180^\circ$ になることを覚えました。この記事では「重ねる」という操作を座標の計算で言い直し、それらの事実がなぜ成り立つのかを、図に頼らず順番に確かめます。読み終えると、合同条件や内角の和が、計算で導かれる結論として説明できるようになります。

- 平面を座標平面 $\mathbb{R}^2$ とみなし、**距離を保つ写像**（等長変換）がすべて $\boldsymbol x\mapsto O\boldsymbol x+\boldsymbol t$（$O$ は直交行列）の形であることを示します（<Ref to="thm-isometry-form" />）。回転・平行移動・鏡映・すべり鏡映（鏡に映したあと、鏡の線に沿ってずらす操作）の 4 種類に分類できます（<Ref to="thm-isometry-classification" />）。
- 図形が**合同**であるとは、等長変換で重なることです。三角形の合同条件（3 辺・2 辺夾角・1 辺両端角）は、「3 点の位置関係は辺の長さと内積で決まる」という補題（<Ref to="lem-triangle-isometry" />）から出ます（<Ref to="thm-sss" />、<Ref to="thm-sas" />、<Ref to="thm-asa" />）。
- 相似条件は、相似変換が「合同＋拡大」であることから合同条件に帰着します（<Ref to="thm-similarity-conditions" />）。
- 平行線と同位角・錯角、三角形の内角の和が $\pi$ であること、凸 $n$ 角形の内角の和が $(n-2)\pi$ であることを、[向きつきの角](/mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-oriented-angle)の加法性（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-dot-cos" />）から証明します（<Ref to="thm-angle-sum" />、<Ref to="cor-polygon-angles" />）。ユークリッドの第 5 公準は使いません。
- 辺と角の大小、三角形の成立条件、中点連結定理、平行線と線分の比、角の二等分線の定理、等積変形、鏡映による最短経路（Heron の問題）、Steiner–Lehmus の定理までを、この章の定理だけで証明します。以降の総合的な幾何の章は、この章の定理を `<Ref>` して進みます。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **内積**: 2 つのベクトルから数を作る演算で、長さや角の計算に使う。→ [内積](/mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-dot-det)
- **行列式**: 2 つのベクトルが作る平行四辺形の向きつきの面積にあたる数。→ [内積・長さ・2 次の行列式](/mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-dot-det)
- **向きつきの角**: 反時計回りを正として測る角。→ [向きつきの角](/mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-oriented-angle)
- **直交行列**: 列が互いに垂直な単位ベクトルになっている正方行列で、長さと内積を変えない。
- **1 次独立**: 2 つのベクトルがどちらも零ベクトルでなく、平行でないこと。

</Aside>

## 1. 動機 — 「合同」とは何を言っているのか

中学校では、2 つの三角形が合同であるとは「重ね合わせられること」だと習います。そして、3 辺がそれぞれ等しいなら重なる（SSS）、などの**合同条件**を学びます。しかし教科書では、合同条件は図を見て納得する「認める」事実として始まり、そこから平行線の性質、内角の和、円周角の定理が積み上がっていきます。

この章では順序を逆にします。**重ね合わせる操作**そのものを、座標平面の上で数学的に定義します。距離を変えない写像（**等長変換**）です。

1. 等長変換がどんな写像かを決める（<Ref to="thm-isometry-form" />）。これは前章の内積の計算だけで証明できます。
2. 3 点の組を等長変換で移せる条件を調べる。3 点の相互の位置関係は、辺の長さと 1 つの[内積](/mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-dot-det)で決まるので、合同条件が定理になります。
3. 角の和を調べる。向きつきの角は回転行列の積で加法的なので、内角の和は計算で出ます。

平行線公理（ユークリッドの第 5 公準）は、座標平面では「点を通る平行線がただ 1 本」という自明な事実（方向ベクトルを決めれば直線が決まる）になっていて、公理として置く必要がありません。公理から幾何を組む方法（ヒルベルトの公理系）は注意（<Ref to="rem-euclid-postulates" />）で述べるにとどめます。

用語を決めておきます。**三角形** $ABC$ とは、一直線上にない 3 点の組です。$|BC|=a$、$|CA|=b$、$|AB|=c$ と書き、頂点 $A$ での角を $\angle A=\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-vector-angle" text="なす角" />）とします。前章の記号 $\det$、$R(\theta)$、$e(\varphi)$、$S(A,B,C)$ をそのまま使います。

## 2. 等長変換

<Definition id="def-isometry" title="等長変換">
写像 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ が任意の 2 点 $P,Q$ について $|f(P)-f(Q)|=|P-Q|$ を満たすとき、$f$ を**等長変換**（距離を保つ写像）という。
</Definition>

全射性や線形性は仮定しません。距離を保つことだけから、次のことが従います。

<Theorem id="thm-isometry-form" title="等長変換は直交行列と平行移動の合成">
$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ について、次は同値である。

1. $f$ は等長変換である。
2. ある $2$ 次直交行列 $O$（$O^{\mathsf T}O=I$）とベクトル $\boldsymbol t$ があって、$f(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x+\boldsymbol t$。
</Theorem>

次の証明のねらいは、「距離を保つ」という条件だけから、内積も保たれること、さらに行列で書けることまで順に引き出すことです。まず原点を動かさない写像に直し、距離の 2 乗を展開して内積が保たれることを示します。次に標準基底の行き先を並べて直交行列を作り、元の写像と一致することを確かめます。

<Proof of="thm-isometry-form">
（2 ⇒ 1）直交行列は長さを保つ（<Ref to="mathematics/linear-algebra/spectral-theorem#prop-unitary" />）ので、$|f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)|=|O(\boldsymbol x-\boldsymbol y)|=|\boldsymbol x-\boldsymbol y|$。

（1 ⇒ 2）$g(\boldsymbol x)=f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol 0)$ とおくと、$g$ も等長変換で $g(\boldsymbol 0)=\boldsymbol 0$ である。$|g(\boldsymbol x)|=|g(\boldsymbol x)-g(\boldsymbol 0)|=|\boldsymbol x|$ で、さらに $|g(\boldsymbol x)-g(\boldsymbol y)|^2=|\boldsymbol x-\boldsymbol y|^2$ の両辺を前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 3 で展開して $|g(\boldsymbol x)|^2=|\boldsymbol x|^2$、$|g(\boldsymbol y)|^2=|\boldsymbol y|^2$ を使うと
$$
g(\boldsymbol x)\cdot g(\boldsymbol y)=\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y\qquad(\text{すべての }\boldsymbol x,\boldsymbol y)
$$
を得る。標準基底 $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ に対して $g(\boldsymbol e_i)\cdot g(\boldsymbol e_j)=\boldsymbol e_i\cdot\boldsymbol e_j=\delta_{ij}$ なので、$g(\boldsymbol e_1),g(\boldsymbol e_2)$ を列にもつ行列 $O$ は直交行列である（<Ref to="mathematics/linear-algebra/spectral-theorem#prop-unitary" /> の 4 と 1 の同値）。任意の $\boldsymbol x=x_1\boldsymbol e_1+x_2\boldsymbol e_2$ について、
$$
g(\boldsymbol x)\cdot O\boldsymbol x=x_1\,g(\boldsymbol x)\cdot g(\boldsymbol e_1)+x_2\,g(\boldsymbol x)\cdot g(\boldsymbol e_2)=x_1\,\boldsymbol x\cdot\boldsymbol e_1+x_2\,\boldsymbol x\cdot\boldsymbol e_2=|\boldsymbol x|^2
$$
であり、$|O\boldsymbol x|=|\boldsymbol x|$ なので $|g(\boldsymbol x)-O\boldsymbol x|^2=|\boldsymbol x|^2-2|\boldsymbol x|^2+|\boldsymbol x|^2=0$。ゆえに $g(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x$、すなわち $f(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x+\boldsymbol t$（$\boldsymbol t=f(\boldsymbol 0)$）。
</Proof>

鏡映の行列を $F(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$ とおきます。

<Lemma id="lem-orthogonal-2x2" title="2 次の直交行列">
2 次の直交行列 $O$ は、ある実数 $\theta$ について $O=R(\theta)$（$\det O=1$）または $O=F(\theta)$（$\det O=-1$）である。
</Lemma>

<Proof of="lem-orthogonal-2x2">
$O^{\mathsf T}O=I$ は、$O$ の 2 本の列が単位ベクトルで互いに垂直であることを表す。第 1 列は単位ベクトルなので $e(\theta)$ と書ける（<Ref to="mathematics/hs-analysis/elementary-functions#thm-unit-circle-param" />）。第 2 列は $\{\boldsymbol x\mid e(\theta)\cdot\boldsymbol x=0\}$ に属し、この集合は前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-line-circle-vector" /> の 2 と 1 により $(-\sin\theta,\cos\theta)$ の実数倍の全体である。$(-\sin\theta,\cos\theta)$ は単位ベクトルなので、長さ $1$ のものは $\pm(-\sin\theta,\cos\theta)$ だけである。$+$ なら $O=R(\theta)$ で $\det O=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$、$-$ なら $O=F(\theta)$ で $\det O=-1$ である。
</Proof>

<Theorem id="thm-isometry-classification" title="等長変換の分類">
等長変換 $f(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x+\boldsymbol t$ は、次のいずれかである。

1. **平行移動**: $O=I$。
2. **回転**: $O=R(\theta)$（$\theta\notin2\pi\mathbb{Z}$）。このとき $f$ はただ 1 つの不動点 $P$ をもち、$f(\boldsymbol x)=\boldsymbol p+R(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol p)$、すなわち $P$ を中心とする角 $\theta$ の回転である。
3. **鏡映またはすべり鏡映**: $O=F(\theta)$。ある直線 $\ell$ と、$\ell$ に平行なベクトル $\alpha\boldsymbol u$ があって、$f$ は「$\ell$ に関する鏡映のあとで $\alpha\boldsymbol u$ だけ平行移動する」写像である。$\alpha=0$ のとき**鏡映**（$\ell$ 上の点がすべて不動）、$\alpha\ne0$ のとき**すべり鏡映**（不動点なし）である。
</Theorem>

<Proof of="thm-isometry-classification">
<Ref to="lem-orthogonal-2x2" /> により $O=R(\theta)$ または $O=F(\theta)$ である。$O=R(\theta)$ で $\theta\in2\pi\mathbb{Z}$ なら $O=I$ で、1 の平行移動である。

**2**: 不動点は $(I-R(\theta))\boldsymbol p=\boldsymbol t$ の解である。$\det(I-R(\theta))=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2-2\cos\theta$ で、$\theta\notin2\pi\mathbb{Z}$ なら $\cos\theta\ne1$ なので $\ne0$。したがって解がただ 1 つ存在する（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-plane-basis" />）。$\boldsymbol p=R(\theta)\boldsymbol p+\boldsymbol t$ から $\boldsymbol t-\boldsymbol p=-R(\theta)\boldsymbol p$ なので $f(\boldsymbol x)-\boldsymbol p=R(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol p)$。

**3**: $\boldsymbol u=e(\theta/2)$、$\boldsymbol v=(-\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))$ とおく。加法定理（<Ref to="mathematics/hs-analysis/elementary-functions#thm-addition-formulas" />）から
$$
F(\theta)\boldsymbol u=\bigl(\cos\theta\cos\tfrac\theta2+\sin\theta\sin\tfrac\theta2,\ \sin\theta\cos\tfrac\theta2-\cos\theta\sin\tfrac\theta2\bigr)=\boldsymbol u,\qquad F(\theta)\boldsymbol v=-\boldsymbol v
$$
である（2 つ目も同様の計算）。$\boldsymbol u,\boldsymbol v$ は正規直交基底なので、$\boldsymbol t=\alpha\boldsymbol u+\beta\boldsymbol v$（$\alpha=\boldsymbol t\cdot\boldsymbol u$、$\beta=\boldsymbol t\cdot\boldsymbol v$）と書ける。点 $\boldsymbol q=\tfrac\beta2\boldsymbol v$ を通り $\boldsymbol u$ に平行な直線を $\ell$ とし、$\rho(\boldsymbol x)=F(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol q)+\boldsymbol q$ とおく。$\boldsymbol x=\boldsymbol q+s\boldsymbol u+w\boldsymbol v$ と書くと $\rho(\boldsymbol x)=\boldsymbol q+s\boldsymbol u-w\boldsymbol v$ で、$\rho$ は $\ell$ に関する鏡映（$\ell$ 上の点は不動、$\ell$ に垂直な成分は符号反転）である。一方 $\rho(\boldsymbol x)=F(\theta)\boldsymbol x-F(\theta)\boldsymbol q+\boldsymbol q=F(\theta)\boldsymbol x+\beta\boldsymbol v$ なので、$f(\boldsymbol x)=\rho(\boldsymbol x)+\alpha\boldsymbol u$ を得る。$\alpha=0$ なら $f=\rho$ で $\ell$ 上が不動。$\alpha\ne0$ なら、不動点があれば $\rho(\boldsymbol x)-\boldsymbol x=-\alpha\boldsymbol u$ となるが、左辺は $\boldsymbol x=\boldsymbol q+s\boldsymbol u+w\boldsymbol v$ について $-2w\boldsymbol v$ で $\boldsymbol v$ 方向の成分しか持たない（$\rho$ は $\boldsymbol u$ 成分を変えない）。$\boldsymbol u,\boldsymbol v$ は 1 次独立なので $\alpha=0$ となり、$\alpha\ne0$ に反する。
</Proof>

<Example id="ex-two-reflections" title="2 回の鏡映は回転">
原点を通る 2 直線に関する鏡映は、それぞれ $F(2a)$ と $F(2b)$（直線の方向は $e(a)$、$e(b)$）で、積は
$$
F(2a)F(2b)=\begin{pmatrix}\cos2a\cos2b+\sin2a\sin2b&\cos2a\sin2b-\sin2a\cos2b\\ \sin2a\cos2b-\cos2a\sin2b&\sin2a\sin2b+\cos2a\cos2b\end{pmatrix}=R(2a-2b)
$$
である。2 直線のなす角の 2 倍の回転になる。
</Example>

## 3. 合同と三角形の合同条件

<Definition id="def-congruence" title="合同">
図形（平面の部分集合）$F,F'$ が**合同**であるとは、等長変換 $f$ で $f(F)=F'$ となるものがあることをいう。三角形 $ABC$ と $A'B'C'$ が、この対応で合同であるとは、等長変換 $f$ で $f(A)=A'$、$f(B)=B'$、$f(C)=C'$ となるものがあることをいう。
</Definition>

等長変換は辺の長さを保ちます。角も保つことを、相似変換（§4）の場合もまとめて補題にしておきます。

<Lemma id="lem-isometry-angle" title="等長変換・相似変換は角を保つ">
$k>0$ とし、写像 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ が任意の 2 点 $P,Q$ について $|f(P)-f(Q)|=k|P-Q|$ を満たすとする（$k=1$ なら等長変換、一般には <Ref to="def-similarity" /> の比 $k$ の相似変換）。このとき、任意の 4 点 $P,Q,X,Y$ について
$$
\bigl(f(P)-f(Q)\bigr)\cdot\bigl(f(X)-f(Y)\bigr)=k^2\,(P-Q)\cdot(X-Y)
$$
である。さらに $P\ne Q$、$X\ne Y$ ならば $f(P)\ne f(Q)$、$f(X)\ne f(Y)$ で、
$$
\angle\bigl(f(P)-f(Q),\,f(X)-f(Y)\bigr)=\angle(P-Q,\,X-Y)
$$
である。とくに $A\ne B$、$A\ne C$ ならば $\angle f(B)f(A)f(C)=\angle BAC$。
</Lemma>

<Proof of="lem-isometry-angle">
任意のベクトル $\boldsymbol p,\boldsymbol q,\boldsymbol x,\boldsymbol y$ について
$$
2(\boldsymbol p-\boldsymbol q)\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)=|\boldsymbol p-\boldsymbol y|^2+|\boldsymbol q-\boldsymbol x|^2-|\boldsymbol p-\boldsymbol x|^2-|\boldsymbol q-\boldsymbol y|^2
$$
が成り立つ。実際、右辺の 4 項を前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 3 で展開すると、$|\boldsymbol p|^2,|\boldsymbol q|^2,|\boldsymbol x|^2,|\boldsymbol y|^2$ はすべて打ち消し合い、$-2\boldsymbol p\cdot\boldsymbol y-2\boldsymbol q\cdot\boldsymbol x+2\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x+2\boldsymbol q\cdot\boldsymbol y$ が残る。これは同 1（対称性と双線形性）により左辺を展開したものに等しい。右辺は 4 点の間の距離だけで書けている。この恒等式を $f(P),f(Q),f(X),f(Y)$ に使うと、仮定から各距離は $k$ 倍、その 2 乗は $k^2$ 倍なので、1 つ目の等式を得る。

$P\ne Q$ なら $|P-Q|>0$（同 2）なので $|f(P)-f(Q)|=k|P-Q|>0$、すなわち $f(P)\ne f(Q)$。$f(X)\ne f(Y)$ も同様である。1 つ目の等式から
$$
\frac{\bigl(f(P)-f(Q)\bigr)\cdot\bigl(f(X)-f(Y)\bigr)}{|f(P)-f(Q)|\,|f(X)-f(Y)|}=\frac{k^2\,(P-Q)\cdot(X-Y)}{k|P-Q|\cdot k|X-Y|}=\frac{(P-Q)\cdot(X-Y)}{|P-Q|\,|X-Y|}
$$
で、2 つのなす角は余弦が等しい。なす角は余弦がこの値になる $[0,\pi]$ の数として定義され（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-vector-angle" />）、余弦は $[0,\pi]$ で単射なので（<Ref to="mathematics/hs-analysis/elementary-functions#lem-trig-bijections" /> の 2）、2 つのなす角は等しい。最後の主張は、$\angle BAC=\angle(B-A,C-A)$ なので $P=B$、$Q=A$、$X=C$、$Y=A$ とした場合である。
</Proof>

保たれるのは向きを区別しないなす角 $\angle$ です。向きつきの角 $\operatorname{ang}$（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-dot-cos" />）は保たれるとは限りません。たとえば鏡映 $F(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ は $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ を $\boldsymbol e_1,-\boldsymbol e_2$ に移し、$\operatorname{ang}(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2)=\pi/2$ が $\operatorname{ang}(\boldsymbol e_1,-\boldsymbol e_2)=-\pi/2$ に変わります（なす角はどちらも $\pi/2$）。

合同な三角形は、対応する辺と角が等しい——これが合同の定義から従う「必要条件」です。合同条件はその逆を問います。

<Lemma id="lem-triangle-isometry" title="3 点を移す等長変換の存在">
$A,B,C$ を一直線上にない 3 点、$A',B',C'$ を任意の 3 点とする。
$$
|A'B'|=|AB|,\quad|A'C'|=|AC|,\quad(\boldsymbol b'-\boldsymbol a')\cdot(\boldsymbol c'-\boldsymbol a')=(\boldsymbol b-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol c-\boldsymbol a)
$$
ならば、等長変換 $f$ で $f(A)=A'$、$f(B)=B'$、$f(C)=C'$ となるものがある（とくに $A',B',C'$ も一直線上にない）。
</Lemma>

<Proof of="lem-triangle-isometry">
$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol w=\boldsymbol c-\boldsymbol a$、$\boldsymbol u'=\boldsymbol b'-\boldsymbol a'$、$\boldsymbol w'=\boldsymbol c'-\boldsymbol a'$ とおく。仮定は $\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol u'=\boldsymbol u\cdot\boldsymbol u$、$\boldsymbol w'\cdot\boldsymbol w'=\boldsymbol w\cdot\boldsymbol w$、$\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol w'=\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w$ である。ラグランジュの恒等式（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 4）から $\det(\boldsymbol u',\boldsymbol w')^2=\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)^2\ne0$。よって $\boldsymbol u',\boldsymbol w'$ も 1 次独立である。

$\boldsymbol u,\boldsymbol w$ は 1 次独立なので、線形写像 $L$ を $L(s\boldsymbol u+t\boldsymbol w)=s\boldsymbol u'+t\boldsymbol w'$ で定義できる（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-plane-basis" />）。内積の双線形性から
$$
L(s\boldsymbol u+t\boldsymbol w)\cdot L(s'\boldsymbol u+t'\boldsymbol w)=ss'\,\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol u'+(st'+ts')\,\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol w'+tt'\,\boldsymbol w'\cdot\boldsymbol w'=(s\boldsymbol u+t\boldsymbol w)\cdot(s'\boldsymbol u+t'\boldsymbol w)
$$
なので $L$ は内積を保つ。とくに $|L\boldsymbol x|=|\boldsymbol x|$ で、$L$ の行列は直交行列である（<Ref to="mathematics/linear-algebra/spectral-theorem#prop-unitary" /> の 3 と 1 の同値）。そこで $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol a'+L(\boldsymbol x-\boldsymbol a)$ とおくと、<Ref to="thm-isometry-form" /> により等長変換で、$f(A)=A'$、$f(B)=A'+L\boldsymbol u=B'$、$f(C)=C'$ である。
</Proof>

<Theorem id="thm-sss" title="三角形の合同条件（3 辺）">
2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ が $|A'B'|=|AB|$、$|B'C'|=|BC|$、$|C'A'|=|CA|$ を満たすなら、この対応で合同である。
</Theorem>

<Proof of="thm-sss">
$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol w=\boldsymbol c-\boldsymbol a$ とすると、前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 3 から $\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w=\tfrac12(|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol w|^2-|\boldsymbol u-\boldsymbol w|^2)=\tfrac12(|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2)$ である。$A'B'C'$ についても同様なので、仮定から内積が等しい。<Ref to="lem-triangle-isometry" /> を使う。
</Proof>

<Theorem id="thm-sas" title="三角形の合同条件（2 辺とその夾角）">
2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ が $|A'B'|=|AB|$、$|A'C'|=|AC|$、$\angle A'=\angle A$ を満たすなら、この対応で合同である。
</Theorem>

<Proof of="thm-sas">
前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-vector-angle" /> から $(\boldsymbol b-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol c-\boldsymbol a)=|AB||AC|\cos\angle A$ で、$A'B'C'$ も同じ値をとる。<Ref to="lem-triangle-isometry" /> を使う。
</Proof>

ASA（1 辺とその両端の角）には、「角と向きから方向が決まる」という補題が必要です。

<Lemma id="lem-direction-by-angle" title="角と向きから方向が決まる">
$\boldsymbol a,\boldsymbol w,\boldsymbol w'$ をゼロでないベクトルとし、$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol w)$ と $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol w')$ は $0$ でなく同じ符号であるとする。$\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol w)=\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol w')$ ならば、$\boldsymbol w'=k\boldsymbol w$（$k>0$）である。
</Lemma>

直感的には、基準のベクトルとの角と、基準の直線のどちら側にあるかが決まれば、ベクトルの向きは 1 つに決まる、ということです。

<Proof of="lem-direction-by-angle">
$\hat{\boldsymbol a}=\boldsymbol a/|\boldsymbol a|$、$\hat{\boldsymbol a}^{\perp}=(-\hat a_2,\hat a_1)$、$\hat{\boldsymbol w}=\boldsymbol w/|\boldsymbol w|$ とおく。単位ベクトル $\hat{\boldsymbol a}=(p,q)$ について、任意のベクトル $\boldsymbol v$ は
$$
\boldsymbol v=(\boldsymbol v\cdot\hat{\boldsymbol a})\hat{\boldsymbol a}+\det(\hat{\boldsymbol a},\boldsymbol v)\hat{\boldsymbol a}^{\perp}
$$
と書ける（右辺の第 1 成分は $(v_1p+v_2q)p-(pv_2-qv_1)q=v_1(p^2+q^2)=v_1$、第 2 成分も同様）。したがって $\hat{\boldsymbol w}$ は 2 つの数 $\hat{\boldsymbol w}\cdot\hat{\boldsymbol a}$ と $\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w})$ で決まる。仮定から前者は $\cos\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol w)$ で、$\hat{\boldsymbol w}'$ と等しい。後者については、ラグランジュの恒等式（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 4）から $\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w})^2=1-(\hat{\boldsymbol a}\cdot\hat{\boldsymbol w})^2$ で、$\hat{\boldsymbol w}'$ でも同じ値であり、符号が等しいので $\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w})=\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w}')$。ゆえに $\hat{\boldsymbol w}=\hat{\boldsymbol w}'$、すなわち $\boldsymbol w'=k\boldsymbol w$（$k=|\boldsymbol w'|/|\boldsymbol w|>0$）である。
</Proof>

<Theorem id="thm-asa" title="三角形の合同条件（1 辺とその両端の角）">
2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ が $|A'B'|=|AB|$、$\angle A'=\angle A$、$\angle B'=\angle B$ を満たすなら、この対応で合同である。
</Theorem>

証明の方針は次のとおりです。まず回転と平行移動で $A,B$ を $A',B'$ に重ね、$C$ の行き先が直線 $A'B'$ の反対側に来たときは、この直線に関する鏡映で同じ側にそろえます。そのうえで、頂点 $A$ と $B$ の角が等しいことから、$C$ の行き先が $C'$ しかないことを示します。

<Proof of="thm-asa">
$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol u'=\boldsymbol b'-\boldsymbol a'$ は同じ長さなので、$R(\theta)\boldsymbol u=\boldsymbol u'$ となる $\theta$ がある（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-oriented-angle" /> の向きつきの角を使う）。$f_1(\boldsymbol x)=\boldsymbol a'+R(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol a)$ は等長変換で、$f_1(A)=A'$、$f_1(B)=B'$ である。直線 $A'B'$ に関する鏡映 $\sigma$（<Ref to="thm-isometry-classification" /> の 3 で $\alpha=0$ の場合。$A',B'$ は不動で、$\boldsymbol x-\boldsymbol a'$ の $\boldsymbol u'$ に垂直な成分を反転する）を使うと、$\det(\boldsymbol u',\sigma(\boldsymbol x)-\boldsymbol a')=-\det(\boldsymbol u',\boldsymbol x-\boldsymbol a')$ である。そこで $g=f_1$ または $g=\sigma\circ f_1$ を、$C^*=g(C)$ が $C'$ と直線 $A'B'$ について同じ側（$\det(\boldsymbol u',\cdot-\boldsymbol a')$ が同符号）になるように選ぶ。$C^*$ は一直線上にない 3 点 $A',B',C^*$ の 1 つ、$C'$ も同様なので、どちらの行列式もゼロでない。

$g$ は等長変換の合成なので等長変換で、<Ref to="lem-isometry-angle" />（$k=1$）により角を保つので $\angle B'A'C^*=\angle BAC=\angle B'A'C'$。<Ref to="lem-direction-by-angle" />（$\boldsymbol a=\boldsymbol u'$）から、$C'-A'=k(C^*-A')$（$k>0$）。同様に頂点 $B'$ では、$\det(A'-B',\cdot-B')$ を考えると $\det(A'-B',C^*-B')=-\det(\boldsymbol u',C^*-A')$ で、$C'$ についても同じ式なので同符号であり、$\angle A'B'C^*=\angle ABC=\angle A'B'C'$ から $C'-B'=k'(C^*-B')$（$k'>0$）を得る。$\boldsymbol y=C^*-A'$ とおくと、$C'-A'=k\boldsymbol y$ と $C'-A'=(B'-A')+k'(\boldsymbol y-(B'-A'))=(1-k')\boldsymbol u'+k'\boldsymbol y$ から $(k-k')\boldsymbol y=(1-k')\boldsymbol u'$。$\boldsymbol y,\boldsymbol u'$ は 1 次独立なので $k=k'=1$、すなわち $C'=C^*=g(C)$ である。
</Proof>

<Proposition id="prop-isosceles" title="二等辺三角形の底角">
三角形 $ABC$ について、$|AB|=|AC|\iff\angle B=\angle C$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-isosceles">
（$\Rightarrow$）三角形 $A'B'C'=ACB$（$A'=A$、$B'=C$、$C'=B$）を考える。$|A'B'|=|AC|=|AB|=|C'A'|$、$|A'C'|=|AB|=|AC|=|B'A'|$、$|B'C'|=|CB|$ なので <Ref to="thm-sss" /> が使え、等長変換 $f$ で $f(A)=A$、$f(B)=C$、$f(C)=B$ となるものがある。<Ref to="lem-isometry-angle" />（$k=1$）により $f$ は角を保つので $\angle ABC=\angle f(A)f(B)f(C)=\angle ACB$。

（$\Leftarrow$）同じ三角形 $ACB$ を考える。$|A'B'|$ に相当する辺として $|BC|=|C'B'|$ を取る。$\angle B=\angle C$ なので、対応 $B\mapsto C$、$C\mapsto B$、$A\mapsto A$ について、辺 $BC$ とその両端の角が等しい。<Ref to="thm-asa" /> により等長変換 $f$ で $f(B)=C$、$f(C)=B$、$f(A)=A$ となるものがあり、$|AB|=|f(A)f(B)|=|AC|$ である。
</Proof>

<Example id="ex-ssa-counterexample" title="2 辺と 1 角（夾角でない）では合同が決まらない">
$B=(0,0)$、$A=(3,4)$、$C=(5,0)$、$C'=(1,0)$ とする。$|BA|=5$、$|AC|=|AC'|=\sqrt{20}$ で、2 つの三角形 $ABC$、$ABC'$ は $\angle B$（$x$ 軸の正の向きと $\overrightarrow{BA}$ のなす角）も共通である。しかし $|BC|=5$、$|BC'|=1$ で、辺の長さが異なるので合同ではない。「2 辺と夾角でない角」は合同条件にならない。<Ref to="mathematics/hs-geometry/triangle-trigonometry#thm-triangle-determination" /> で、解がいくつあるかを完全に調べる。
</Example>

## 4. 相似

<Definition id="def-similarity" title="相似変換と相似">
正の実数 $k$ があって、任意の 2 点 $P,Q$ について $|f(P)-f(Q)|=k|P-Q|$ を満たす写像 $f$ を、比 $k$ の**相似変換**という。図形 $F,F'$ が**相似**であるとは、相似変換 $f$ で $f(F)=F'$ となるものがあることをいう。三角形についての対応つきの相似も、合同と同様に定める。
</Definition>

$f$ が比 $k$ の相似変換なら、$\boldsymbol x\mapsto\frac1kf(\boldsymbol x)$ は等長変換なので、<Ref to="thm-isometry-form" /> から $f(\boldsymbol x)=kO\boldsymbol x+\boldsymbol t$ の形です。相似変換は差ベクトルの内積を $k^2$ 倍し、辺の長さを $k$ 倍し、角を保ちます（<Ref to="lem-isometry-angle" />）。

<Theorem id="thm-similarity-conditions" title="三角形の相似条件">
2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ について、次の 4 条件は同値である。

1. この対応で相似である。
2. $\dfrac{|A'B'|}{|AB|}=\dfrac{|B'C'|}{|BC|}=\dfrac{|C'A'|}{|CA|}$。
3. $\dfrac{|A'B'|}{|AB|}=\dfrac{|A'C'|}{|AC|}$ かつ $\angle A'=\angle A$。
4. $\angle A'=\angle A$ かつ $\angle B'=\angle B$。
</Theorem>

<Proof of="thm-similarity-conditions">
（1 ⇒ 2, 3, 4）相似変換は辺を $k$ 倍し、角を保つ（<Ref to="lem-isometry-angle" />）。

（2, 3, 4 ⇒ 1）それぞれの場合に、比 $k$ を次のようにとる。2 のときは共通の比、3 のときは $k=|A'B'|/|AB|$、4 のときも $k=|A'B'|/|AB|$ とする。拡大 $\delta(\boldsymbol x)=k\boldsymbol x$ は $|\delta(P)-\delta(Q)|=k|P-Q|$ を満たす（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 2）ので、像 $\delta(A)\delta(B)\delta(C)$ は、辺の長さが $k|AB|,k|BC|,k|CA|$、角が（<Ref to="lem-isometry-angle" /> により）$\angle A,\angle B,\angle C$ である。2 では 3 辺が $A'B'C'$ の 3 辺と等しく、3 では 2 辺とその夾角が、4 では 1 辺（$k|AB|=|A'B'|$）とその両端の角が等しいので、それぞれ <Ref to="thm-sss" />、<Ref to="thm-sas" />、<Ref to="thm-asa" /> により等長変換 $g$ で $g(\delta(A))=A'$、$g(\delta(B))=B'$、$g(\delta(C))=C'$ となるものがある。$g\circ\delta$ が求める相似変換（比 $k$）である。
</Proof>

## 5. 平行線と角、内角の和

<Definition id="def-parallel" title="平行">
2 直線 $\ell=\{\boldsymbol p+s\boldsymbol a\}$、$m=\{\boldsymbol q+s\boldsymbol b\}$（$\boldsymbol a,\boldsymbol b\ne\boldsymbol 0$）が**平行**であるとは、$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が 1 次従属（$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=0$）であることをいい、$\ell\parallel m$ と書く。2 直線が一致する場合も含める。
</Definition>

座標平面では、点 $P$ を通り直線 $\ell$ に平行な直線は、方向ベクトルを $\ell$ のものに取ればちょうど 1 本です。ユークリッドの第 5 公準が公理として要る理由は、公理から出発する幾何だからで、ここでは定義から従います。

横断線と 2 直線の同位角・錯角を、ベクトルで言い直します。$\ell,m$ を直線、$P\in\ell$、$Q\in m$（$P\ne Q$）とし、$\boldsymbol t=\overrightarrow{PQ}$、$\ell,m$ の方向ベクトルを $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ とします。直線 $PQ$ が $\ell,m$ のどちらとも平行でない（$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)\ne0$、$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)\ne0$）とします。$\det(\boldsymbol t,\cdot)$ の符号は、ベクトルが直線 $PQ$ のどちら側を向くかを表します。

<Proposition id="prop-parallel-angles" title="平行線と同位角・錯角">
上の設定で次が成り立つ。

1. （同位角）$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ と $\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)$ が同符号のとき、$\ell\parallel m\iff\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol b,\boldsymbol t)$。
2. （錯角）$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ と $\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)$ が異符号のとき、$\ell\parallel m\iff\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol b,-\boldsymbol t)$。
</Proposition>

<Proof of="prop-parallel-angles">
1: $\ell\parallel m$ なら $\boldsymbol b=k\boldsymbol a$（$k\ne0$）で、$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)=k\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ が同符号なので $k>0$。よって $\angle(\boldsymbol b,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)$。逆に $\angle(\boldsymbol t,\boldsymbol a)=\angle(\boldsymbol t,\boldsymbol b)$ なら、<Ref to="lem-direction-by-angle" />（$\boldsymbol t$ を固定ベクトルとする）から $\boldsymbol b=k\boldsymbol a$（$k>0$）で、$\ell\parallel m$。

2: $-\boldsymbol b$ も $m$ の方向ベクトルで、$\det(\boldsymbol t,-\boldsymbol b)$ は $\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ と同符号である。1 を $\boldsymbol a$ と $-\boldsymbol b$ に使うと、$\ell\parallel m\iff\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)=\angle(-\boldsymbol b,\boldsymbol t)$ で、$\angle(-\boldsymbol b,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol b,-\boldsymbol t)$（両方の符号を反転しても内積と長さは変わらない）である。
</Proof>

次に内角の和です。向きつきの角の加法性（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-dot-cos" /> の 4）を使います。まず、角の内部の半直線による角の分割を補題にします。

<Lemma id="lem-angle-addition" title="角の加法">
$\boldsymbol u,\boldsymbol w$ を 1 次独立なベクトルとし、$\boldsymbol p=s\boldsymbol u+t\boldsymbol w$（$s,t>0$）とする。このとき
$$
\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol p)+\angle(\boldsymbol p,\boldsymbol w)=\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol w)
$$
である。
</Lemma>

<Proof of="lem-angle-addition">
$\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)>0$ としてよい（負なら $\boldsymbol u,\boldsymbol w$ を入れ替える。$\angle$ は対称で $\boldsymbol p=t\boldsymbol w+s\boldsymbol u$ も同じ形）。$\det(\boldsymbol u,\boldsymbol p)=t\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)>0$、$\det(\boldsymbol p,\boldsymbol w)=s\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)>0$ である。前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-dot-cos" /> の 1 により、$\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol p)$、$\operatorname{ang}(\boldsymbol p,\boldsymbol w)$、$\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol w)$ はすべて $\sin>0$、つまり $(0,\pi)$ の元で、それぞれ $\angle$ に等しい（同 2）。同 4 から $\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol p)+\operatorname{ang}(\boldsymbol p,\boldsymbol w)\equiv\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol w)\pmod{2\pi}$ で、左辺は $(0,2\pi)$、右辺は $(0,\pi)$ にあるので等号が成り立つ。
</Proof>

<Theorem id="thm-angle-sum" title="三角形の内角の和">
任意の三角形 $ABC$ について $\angle A+\angle B+\angle C=\pi$ である。
</Theorem>

証明の方針は、三角形の辺を 1 周しながら、進む向きが各頂点でどれだけ変わるかを足すことです。1 周すると元の向きに戻るので、向きの変化の合計は $2\pi$ になります（下の図）。内角は各頂点での向きの変化を $\pi$ から引いたものなので、内角の和は $3\pi-2\pi=\pi$ になります。

<Proof of="thm-angle-sum">
$S(A,B,C)>0$ としてよい（負なら $B,C$ の名前を入れ替える。角の和は対称）。$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol v=\boldsymbol c-\boldsymbol b$、$\boldsymbol w=\boldsymbol a-\boldsymbol c$ とおく（$\boldsymbol u+\boldsymbol v+\boldsymbol w=\boldsymbol 0$）。前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-signed-area" /> の 1 から、
$$
\det(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=\det(\boldsymbol v,\boldsymbol w)=\det(\boldsymbol w,\boldsymbol u)=2S(A,B,C)>0
$$
（たとえば $\det(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)-\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol b-\boldsymbol a)$）。したがって <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-dot-cos" /> の 1 より、$\theta_1=\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol v)$、$\theta_2=\operatorname{ang}(\boldsymbol v,\boldsymbol w)$、$\theta_3=\operatorname{ang}(\boldsymbol w,\boldsymbol u)$ はどれも $\sin>0$ で $(0,\pi)$ の元である。同 4 から $\theta_1+\theta_2+\theta_3\equiv\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0\pmod{2\pi}$ で、和は $(0,3\pi)$ にあるので $\theta_1+\theta_2+\theta_3=2\pi$ である。

内角との関係を調べる。頂点 $B$ の内角は $-\boldsymbol u=\overrightarrow{BA}$ と $\boldsymbol v=\overrightarrow{BC}$ のなす角で、$\cos\angle B=\dfrac{-\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v}{|\boldsymbol u||\boldsymbol v|}=-\cos\theta_1=\cos(\pi-\theta_1)$。$\pi-\theta_1\in(0,\pi)$ で、余弦は $[0,\pi]$ で単射（<Ref to="mathematics/hs-analysis/elementary-functions#lem-trig-bijections" /> の 2）なので $\angle B=\pi-\theta_1$ である。同様に $\angle C=\angle(-\boldsymbol v,\boldsymbol w)=\pi-\theta_2$、$\angle A=\angle(-\boldsymbol w,\boldsymbol u)=\pi-\theta_3$。ゆえに $\angle A+\angle B+\angle C=3\pi-2\pi=\pi$ である。
</Proof>

<Figure caption="三角形の外角（向きの変わる角）θ1, θ2, θ3。辺をたどるときの向きは、各頂点でそれぞれ θ だけ反時計回りに変わり、一周するとちょうど 2π になる。内角は π − θ">
<svg viewBox="0 0 380 270" width="100%" role="img" aria-label="三角形の外角の和は 2π">
  <polygon points="70,210 300,210 210,70" fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.12" stroke="currentColor" stroke-width="2" stroke-linejoin="round" />
  <line x1="300" y1="210" x2="350" y2="210" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4 4" />
  <line x1="210" y1="70" x2="178" y2="21" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4 4" />
  <line x1="70" y1="210" x2="28" y2="252" stroke="currentColor" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4 4" />
  <path d="M 328 210 A 28 28 0 0 0 285 187" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <path d="M 195 46 A 28 28 0 0 0 190 90" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <path d="M 50 230 A 28 28 0 0 0 98 210" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <text x="52" y="206" font-size="14" fill="currentColor">A</text>
  <text x="304" y="228" font-size="14" fill="currentColor">B</text>
  <text x="214" y="64" font-size="14" fill="currentColor">C</text>
  <text x="318" y="190" font-size="13" fill="currentColor">θ1</text>
  <text x="156" y="72" font-size="13" fill="currentColor">θ2</text>
  <text x="76" y="252" font-size="13" fill="currentColor">θ3</text>
</svg>
</Figure>

高校では、三角形の内角の和を「平行線の錯角が等しい」ことから示します（頂点を通る底辺の平行線を引く）。その証明は <Ref to="prop-parallel-angles" /> と同じ内容です。ここでは平行線を引かずに、向きの変化を足し合わせて示しました。

<Definition id="def-convex-polygon" title="凸多角形・内角・外角">
$n\ge3$ とする。平面の $n$ 点 $A_1,\dots,A_n$ が、$i<j<k$ を満たすどの 3 つの添え字についても $S(A_i,A_j,A_k)>0$ を満たすとき、$A_1A_2\cdots A_n$ を（反時計回りの）**凸 $n$ 角形**という。添え字を $n$ を法として巡回させる（$A_0=A_n$、$A_{n+1}=A_1$）。頂点 $A_i$ での**内角**を $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$、**外角**を $\pi$ から内角を引いた数とする。
</Definition>

$S$ は巡回で不変なので、巡回置換した 3 点も反時計回りです。したがって凸多角形の定義は頂点の番号の付け替え（巡回）で変わりません。

<Corollary id="cor-polygon-angles" title="凸多角形の内角の和と外角の和">
凸 $n$ 角形の内角の和は $(n-2)\pi$、外角の和は $2\pi$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-polygon-angles">
頂点 $A_1$ から対角線を引いて、$n-2$ 個の三角形 $T_j=A_1A_jA_{j+1}$（$j=2,\dots,n-1$）に分ける。各 $T_j$ は反時計回り（$S(A_1,A_j,A_{j+1})>0$）の三角形で、<Ref to="thm-angle-sum" /> から角の総和は $(n-2)\pi$ である。多角形の内角の和がこれに等しいことを示す。

頂点 $A_2$ と $A_n$ では、内角は 1 つの三角形（$T_2$、$T_{n-1}$）の角に等しい。頂点 $A_1$ では $\boldsymbol u_j=\boldsymbol a_j-\boldsymbol a_1$ とおくと、$2<j<n$ について $\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_j)>0$、$\det(\boldsymbol u_j,\boldsymbol u_n)>0$、$\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_n)>0$ である（$S(A_1,A_2,A_j)$ などが正）。前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-plane-basis" /> の公式で $\boldsymbol u_j=s\boldsymbol u_2+t\boldsymbol u_n$ と書くと $s=\det(\boldsymbol u_j,\boldsymbol u_n)/\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_n)>0$、$t=\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_j)/\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_n)>0$。<Ref to="lem-angle-addition" /> を $j=3,4,\dots,n-1$ の順に使うと（$j$ 番目の使用では $\boldsymbol u_2$ と $\boldsymbol u_{j+1}$ の間に $\boldsymbol u_j$ が入る。同じ符号の議論による）
$$
\angle A_2A_1A_n=\sum_{j=2}^{n-1}\angle A_jA_1A_{j+1}
$$
を得る。$3\le k\le n-1$ の頂点 $A_k$ でも、$\boldsymbol a=\overrightarrow{A_kA_{k+1}}$、$\boldsymbol b=\overrightarrow{A_kA_{k-1}}$、$\boldsymbol p=\overrightarrow{A_kA_1}$ について $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)>0$、$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol p)>0$、$\det(\boldsymbol p,\boldsymbol b)>0$（$S(A_{k-1},A_k,A_{k+1})$、$S(A_1,A_k,A_{k+1})$、$S(A_1,A_{k-1},A_k)$ が正であることの巡回的な言い換え）なので、$\boldsymbol p=s\boldsymbol a+t\boldsymbol b$ と書くと $s=\det(\boldsymbol p,\boldsymbol b)/\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)>0$、$t=\det(\boldsymbol a,\boldsymbol p)/\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)>0$。<Ref to="lem-angle-addition" /> より $\angle A_{k-1}A_kA_{k+1}=\angle A_{k+1}A_kA_1+\angle A_1A_kA_{k-1}$、すなわち内角は $T_{k-1}$ と $T_k$ の頂点 $A_k$ での角の和である。これですべての三角形の角がちょうど 1 回ずつ多角形の内角に数えられたので、内角の和は $(n-2)\pi$、外角の和は $n\pi-(n-2)\pi=2\pi$ である。
</Proof>

<Remark id="rem-euclid-postulates" title="ユークリッドの第 5 公準と非ユークリッド幾何">
この章では平行線に関する公理を一切置いていません。座標平面 $\mathbb{R}^2$ が最初からユークリッド幾何の模型になっているからです。公理から出発する立場では、「三角形の内角の和が $\pi$」は第 5 公準と同値な事実になります。第 5 公準を除いた体系（絶対幾何）でも内角の和は $\pi$ 以下であること（Saccheri–Legendre の定理）、内角の和が $\pi$ 未満の模型（双曲幾何）が存在することが知られています。出典: R. Hartshorne, *Geometry: Euclid and Beyond*, Springer, 2000（公理系と同値な命題の整理）、M. J. Greenberg, *Euclidean and Non-Euclidean Geometries*, W. H. Freeman。大学では、等長変換の群の作用（algebra）や、曲がった曲面上の幾何（differential-geometry）としてこの話が続きます。

また、多角形の「内部」と「外部」の定義（非凸の多角形や一般の閉曲線の場合）には Jordan の曲線定理が背景にあります（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/jordan-curve-theorem#thm-jordan-curve" />）。この章は凸多角形だけを扱い、Jordan の曲線定理は使いません。
</Remark>

## 6. 辺と角の大小・三角形の成立条件

<Lemma id="lem-cosine-formula" title="頂点の角の余弦を辺の長さで表す">
三角形 $ABC$ で $a=|BC|$、$b=|CA|$、$c=|AB|$ とすると、
$$
\cos\angle B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\qquad\cos\angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},\qquad\cos\angle A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
である。
</Lemma>

<Proof of="lem-cosine-formula">
$\boldsymbol u=\overrightarrow{BA}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{BC}$ とすると $|\boldsymbol u-\boldsymbol w|=|\overrightarrow{CA}|=b$ で、<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 3 から $2\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w=|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol w|^2-|\boldsymbol u-\boldsymbol w|^2=c^2+a^2-b^2$。$\cos\angle B=\dfrac{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w}{|\boldsymbol u||\boldsymbol w|}=\dfrac{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w}{ca}$ に代入する。他の 2 式も同様。
</Proof>

これは次の章の余弦定理そのものですが、角の大小の証明に必要なので、ここで先に示しておきます。

<Theorem id="thm-triangle-inequality-geo" title="三角形の成立条件">
正の実数 $a,b,c$ について、$|BC|=a$、$|CA|=b$、$|AB|=c$ となる三角形 $ABC$ が存在することと、$|b-c|<a<b+c$（3 つの数のどれもが他の 2 つの和より小さい）が成り立つことは同値である。
</Theorem>

<Proof of="thm-triangle-inequality-geo">
（$\Rightarrow$）$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{AC}$ は 1 次独立（三角形の定義）なので、<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 5（等号条件）から $|\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w|<|\boldsymbol u||\boldsymbol w|$。$a^2=|\boldsymbol u-\boldsymbol w|^2=b^2+c^2-2\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w<b^2+c^2+2bc=(b+c)^2$、$a^2>(b-c)^2$ である。

（$\Leftarrow$）$B=(0,0)$、$C=(a,0)$、$A=(x,y)$ として、$x=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}$、$y=\sqrt{c^2-x^2}$ とおく。$c^2-x^2$ を因数分解すると
$$
c^2-x^2=\frac{(2ac-a^2-c^2+b^2)(2ac+a^2+c^2-b^2)}{4a^2}=\frac{(b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{4a^2}
$$
で、仮定から 4 つの因子はすべて正なので $y>0$ である。$|AB|^2=x^2+y^2=c^2$、$|AC|^2=(x-a)^2+y^2=c^2-2ax+a^2=c^2-(a^2+c^2-b^2)+a^2=b^2$。$y\ne0$ なので $A,B,C$ は一直線上にない。
</Proof>

<Theorem id="thm-side-angle" title="辺と角の大小関係">
三角形 $ABC$ について、$|CA|>|AB|\iff\angle B>\angle C$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-side-angle">
<Ref to="lem-cosine-formula" /> から
$$
\cos\angle B-\cos\angle C=\frac{b(a^2+c^2-b^2)-c(a^2+b^2-c^2)}{2abc}=\frac{(b-c)\bigl(a^2-(b+c)^2\bigr)}{2abc}
$$
（分子を $a^2(b-c)+bc(c-b)-(b^3-c^3)$ と整理して因数分解した）。<Ref to="thm-triangle-inequality-geo" /> により $a<b+c$ なので $a^2-(b+c)^2<0$ で、$\cos\angle B-\cos\angle C$ の符号は $b-c$ の符号と逆である。余弦関数は $[0,\pi]$ で狭義単調減少なので（<Ref to="mathematics/hs-analysis/elementary-functions#lem-trig-bijections" />）、$b>c\iff\cos\angle B<\cos\angle C\iff\angle B>\angle C$。
</Proof>

## 7. 比に関する定理

<Theorem id="thm-parallel-ratio" title="平行線と線分の比">
1. 三角形 $ABC$ と、$D=A+s(B-A)$、$E=A+t(C-A)$（$s,t\ne0$、つまり $D,E$ は直線 $AB$、$AC$ 上で $A$ と異なる点）について、$DE\parallel BC\iff s=t$。このとき $|AD|:|AB|=|AE|:|AC|=|DE|:|BC|=|s|$ である。
2. 3 本の相異なる平行線 $\ell_1,\ell_2,\ell_3$（方向ベクトル $\boldsymbol e$）が、$\boldsymbol e$ と平行でない 2 直線 $m,m'$ とそれぞれ $A_i,B_i$ で交わるとき、$|A_1A_2|:|A_2A_3|=|B_1B_2|:|B_2B_3|$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-parallel-ratio">
1: $\boldsymbol e-\boldsymbol d=t(\boldsymbol c-\boldsymbol a)-s(\boldsymbol b-\boldsymbol a)$ で、$\boldsymbol c-\boldsymbol b=(\boldsymbol c-\boldsymbol a)-(\boldsymbol b-\boldsymbol a)$ である。$\boldsymbol b-\boldsymbol a$ と $\boldsymbol c-\boldsymbol a$ は 1 次独立なので、$DE\parallel BC$、すなわち $\boldsymbol e-\boldsymbol d=k(\boldsymbol c-\boldsymbol b)$ となる $k$ があることと、係数を比べて $t=k$、$-s=-k$（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-plane-basis" /> の一意性）、すなわち $s=t$ は同値である。このとき $\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AE}=s\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{DE}=s\overrightarrow{BC}$ である。

2: $\varphi(\boldsymbol x)=\det(\boldsymbol e,\boldsymbol x)$ とおくと、$\varphi(\boldsymbol x+\lambda\boldsymbol e)=\varphi(\boldsymbol x)$ なので、$\varphi$ は各 $\ell_i$ 上で定数 $c_i$ をとる。$\ell_i$ は相異なるので $c_i$ は相異なる（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-line-circle-vector" /> の 1）。$m=\{\boldsymbol p+s\boldsymbol d\}$、$A_i=\boldsymbol p+s_i\boldsymbol d$ とすると $c_i=\varphi(A_i)=\varphi(\boldsymbol p)+s_i\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d)$ で、$\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d)\ne0$ なので $s_i=(c_i-\varphi(\boldsymbol p))/\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d)$。同様に $B_i=\boldsymbol q+t_i\boldsymbol d'$ について $t_i=(c_i-\varphi(\boldsymbol q))/\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d')$。したがって $\dfrac{s_2-s_1}{s_3-s_2}=\dfrac{c_2-c_1}{c_3-c_2}=\dfrac{t_2-t_1}{t_3-t_2}$ で、$|A_1A_2|:|A_2A_3|=|s_2-s_1|:|s_3-s_2|$ なので結論を得る。
</Proof>

<Theorem id="thm-midpoint" title="中点連結定理">
三角形 $ABC$ の辺 $AB$、$AC$ の中点を $M$、$N$ とすると、$MN\parallel BC$ かつ $|MN|=\tfrac12|BC|$ である。逆に、辺 $AB$ の中点 $M$ を通り $BC$ に平行な直線は、辺 $AC$ の中点を通る。
</Theorem>

<Proof of="thm-midpoint">
$\boldsymbol n-\boldsymbol m=\dfrac{\boldsymbol a+\boldsymbol c}{2}-\dfrac{\boldsymbol a+\boldsymbol b}{2}=\dfrac{\boldsymbol c-\boldsymbol b}{2}$ から前半を得る（$MN\parallel BC$ は <Ref to="thm-parallel-ratio" /> の 1 で $s=t=\tfrac12$ の場合でもある）。逆: $M$ を通り $BC$ に平行な直線上の点は
$$
\boldsymbol m+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol b)=\boldsymbol a+\bigl(\tfrac12-\lambda\bigr)(\boldsymbol b-\boldsymbol a)+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol a)
$$
と書ける。$\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol c-\boldsymbol a$ は 1 次独立なので、この点が直線 $AC$ 上にある（$\boldsymbol b-\boldsymbol a$ の係数が $0$）のは $\lambda=\tfrac12$ のときだけで（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-plane-basis" /> の一意性）、その点は $\boldsymbol a+\tfrac12(\boldsymbol c-\boldsymbol a)=\boldsymbol n$、すなわち辺 $AC$ の中点である。
</Proof>

<Lemma id="lem-bisector-ray" title="角の二等分線の方向">
$A,B,C$ を一直線上にない 3 点とし、$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{AC}$、$\hat{\boldsymbol u}=\boldsymbol u/|\boldsymbol u|$、$\hat{\boldsymbol w}=\boldsymbol w/|\boldsymbol w|$ とする。
$\boldsymbol p=s\boldsymbol u+t\boldsymbol w$（$s,t>0$、つまり角 $BAC$ の内部の方向）について、$\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol p)=\angle(\boldsymbol p,\boldsymbol w)$ であることと、$\boldsymbol p=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$（$\lambda>0$）であることは同値である。
</Lemma>

<Proof of="lem-bisector-ray">
$\hat{\boldsymbol u},\hat{\boldsymbol w}$ は 1 次独立なので、$\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w}\ne\boldsymbol 0$、$\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w}\ne\boldsymbol 0$ である。$|\hat{\boldsymbol u}|=|\hat{\boldsymbol w}|=1$ なので、$\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol p)=\angle(\boldsymbol p,\boldsymbol w)$ は余弦が等しいこと $\hat{\boldsymbol u}\cdot\boldsymbol p=\hat{\boldsymbol w}\cdot\boldsymbol p$、つまり $(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})\cdot\boldsymbol p=0$ と同値である。

（$\Rightarrow$）$(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})\cdot\boldsymbol p=0$ を満たすベクトルの全体は、前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-line-circle-vector" /> の 2 により原点を通る直線である。$(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})\cdot(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})=|\hat{\boldsymbol u}|^2-|\hat{\boldsymbol w}|^2=0$ から、この直線は $\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w}\ne\boldsymbol 0$ を含むので、$\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w}$ の実数倍の全体に等しい。よって $\boldsymbol p=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$ と書ける。一方 $\boldsymbol p=s\boldsymbol u+t\boldsymbol w=s|\boldsymbol u|\hat{\boldsymbol u}+t|\boldsymbol w|\hat{\boldsymbol w}$ で、$\hat{\boldsymbol u},\hat{\boldsymbol w}$ による表し方の一意性から $\lambda=s|\boldsymbol u|=t|\boldsymbol w|>0$ である。

（$\Leftarrow$）$\boldsymbol p=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$ なら $\hat{\boldsymbol u}\cdot\boldsymbol p=\lambda(1+\hat{\boldsymbol u}\cdot\hat{\boldsymbol w})=\hat{\boldsymbol w}\cdot\boldsymbol p$ なので、余弦が等しい。
</Proof>

<Theorem id="thm-angle-bisector" title="角の二等分線の定理">
三角形 $ABC$ で $a=|BC|$、$b=|CA|$、$c=|AB|$ とする。

1. 辺 $BC$ 上の点 $D$ について、$\angle BAD=\angle DAC\iff|BD|:|DC|=c:b$。
2. $b\ne c$ のとき、$A$ を通り $\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w}$（$\hat{\boldsymbol u}=\overrightarrow{AB}/c$、$\hat{\boldsymbol w}=\overrightarrow{AC}/b$）を方向ベクトルとする直線（外角の二等分線）は直線 $BC$ とただ 1 点 $D'$ で交わり、$D'$ は線分 $BC$ の外にあって $|D'B|:|D'C|=c:b$ である。$b=c$ のときこの直線は $BC$ に平行である。
</Theorem>

<Proof of="thm-angle-bisector">
$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{AC}$ とし、直線 $BC$ 上の点を $D=B+\tau(C-B)$ と書く。$\overrightarrow{AD}=(1-\tau)\boldsymbol u+\tau\boldsymbol w=(1-\tau)c\,\hat{\boldsymbol u}+\tau b\,\hat{\boldsymbol w}$ である。

1: $D$ が線分 $BC$ 上（$0<\tau<1$）なら $\overrightarrow{AD}$ は内部の方向なので、<Ref to="lem-bisector-ray" /> から $\angle BAD=\angle DAC\iff\overrightarrow{AD}=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$（$\lambda>0$）で、$\hat{\boldsymbol u},\hat{\boldsymbol w}$ の 1 次独立性から $(1-\tau)c=\tau b$ と同値である。$|BD|=\tau a$、$|DC|=(1-\tau)a$ なので、これは $|BD|:|DC|=\tau:(1-\tau)=c:b$ である。（$\tau=0,1$ のとき $D=B,C$ で角が $0$ になるので除く。）

2: $\overrightarrow{AD'}=\kappa(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})$ とすると、係数を比べて $(1-\tau)c=\kappa$、$\tau b=-\kappa$。ゆえに $(1-\tau)c+\tau b=0$、すなわち $\tau(b-c)=-c$ で、$b\ne c$ のとき $\tau=\dfrac{c}{c-b}$、$1-\tau=\dfrac{-b}{c-b}$ とただ 1 つに決まる。$\tau$ は $[0,1]$ の外にある（$c>b$ なら $\tau>1$、$c<b$ なら $\tau<0$）ので $D'$ は線分の外で、$|D'B|:|D'C|=|\tau|:|1-\tau|=c:b$。$b=c$ のとき方程式は $c=0$ になって解がなく、直線は平行である。
</Proof>

<Figure caption="角の二等分線の定理。$A$ からの二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とすると、$|BD|:|DC|=c:b$。同じ色の辺が対応する">
<svg viewBox="0 0 380 240" width="100%" role="img" aria-label="三角形 ABC で角 A の二等分線が辺 BC と D で交わり、BD と DC の比が AB と AC の比に等しい">
  <polygon points="120,40 40,200 340,200" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linejoin="round" />
  <line x1="120" y1="40" x2="40" y2="200" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="3.5" />
  <line x1="40" y1="200" x2="159" y2="200" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="3.5" />
  <line x1="120" y1="40" x2="340" y2="200" stroke="#d9822b" stroke-width="3.5" />
  <line x1="159" y1="200" x2="340" y2="200" stroke="#d9822b" stroke-width="3.5" />
  <line x1="120" y1="40" x2="159" y2="200" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5 4" />
  <text x="104" y="38" font-size="14" fill="currentColor">A</text>
  <text x="22" y="216" font-size="14" fill="currentColor">B</text>
  <text x="344" y="216" font-size="14" fill="currentColor">C</text>
  <text x="152" y="218" font-size="14" fill="currentColor">D</text>
  <text x="62" y="112" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">c</text>
  <text x="248" y="108" font-size="13" fill="#d9822b">b</text>
  <text x="94" y="192" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">BD</text>
  <text x="244" y="192" font-size="13" fill="#d9822b">DC</text>
</svg>
</Figure>

<Proposition id="prop-parallelogram" title="平行四辺形になる条件">
四角形 $ABCD$（$A,B,D$ は一直線上にない）について、次は同値である。

1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$（$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol c-\boldsymbol d$）。
2. 対角線 $AC$ と $BD$ の中点が一致する（$\boldsymbol a+\boldsymbol c=\boldsymbol b+\boldsymbol d$）。
3. $AB\parallel DC$ かつ $AD\parallel BC$（2 組の対辺が平行）。

これらが成り立つとき、$ABCD$ を**平行四辺形**といい、対辺は等しく、対角は等しい。
</Proposition>

<Proof of="prop-parallelogram">
（1 ⇔ 2）どちらも $\boldsymbol c=\boldsymbol b+\boldsymbol d-\boldsymbol a$ と同値である。（1 ⇒ 3）$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ から $AB\parallel DC$。また $\boldsymbol c-\boldsymbol b=\boldsymbol d-\boldsymbol a$ より $AD\parallel BC$。（3 ⇒ 1）$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol v=\boldsymbol d-\boldsymbol a$ は 1 次独立で、$\boldsymbol c-\boldsymbol a=x\boldsymbol u+y\boldsymbol v$ と書ける。$\boldsymbol c-\boldsymbol d=x\boldsymbol u+(y-1)\boldsymbol v$ が $\boldsymbol u$ に平行なので $y=1$、$\boldsymbol c-\boldsymbol b=(x-1)\boldsymbol u+y\boldsymbol v$ が $\boldsymbol v$ に平行なので $x=1$。よって $\boldsymbol c=\boldsymbol a+\boldsymbol u+\boldsymbol v$、$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol c-\boldsymbol d=\boldsymbol u$。対辺が等しいことは、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ の長さをとれば $|AB|=|DC|$、$|AD|=|BC|$ である。対角が等しいことは、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ なので $\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\angle(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})$（ともに $\boldsymbol u,\boldsymbol v$ と $-\boldsymbol u,-\boldsymbol v$ のなす角）から従う。
</Proof>

<Proposition id="prop-area-ratio" title="等積変形と面積比">
1. 三角形 $ABC$ の頂点 $A$ を、$BC$ に平行な直線上で動かしても、面積は変わらない。
2. 三角形 $ABC$ と、直線 $BC$ 上の点 $D=B+\tau(C-B)$ について、$S(A,B,D)=\tau\,S(A,B,C)$。とくに $D$ が線分 $BC$ 上なら、三角形 $ABD$ と $ABC$ の面積の比は $|BD|:|BC|$ である。
3. 相似比 $k$ の相似な 2 つの三角形の面積比は $k^2:1$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-area-ratio">
面積は $|S|$（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#prop-signed-area" /> の 5）。
1: $A'=A+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol b)$ とすると $S(B,C,A')=\tfrac12\det(\boldsymbol c-\boldsymbol b,\boldsymbol a-\boldsymbol b+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol b))=S(B,C,A)$。
2: $\boldsymbol d-\boldsymbol a=(\boldsymbol b-\boldsymbol a)+\tau(\boldsymbol c-\boldsymbol b)$ で、$\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol d-\boldsymbol a)=\tau\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol b)=\tau\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)$。
3: 比 $k$ の相似変換は $f(\boldsymbol x)=kO\boldsymbol x+\boldsymbol t$（$O$ は直交行列）の形である（$\frac1kf$ に <Ref to="thm-isometry-form" /> を使う）。三角形 $ABC$ が $f$ で $A'B'C'$ に移るとすると、$\boldsymbol b'-\boldsymbol a'=kO(\boldsymbol b-\boldsymbol a)$、$\boldsymbol c'-\boldsymbol a'=kO(\boldsymbol c-\boldsymbol a)$ で、平行移動の部分 $\boldsymbol t$ は差をとると消える。$S$ は差ベクトルの行列式で定まる（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#def-signed-area" />）ので、平行移動で面積が変わらないことを別に使う必要はない。$O=(o_{ij})$ について成分で展開すると
$$
\det(O\boldsymbol x,O\boldsymbol y)=(o_{11}x_1+o_{12}x_2)(o_{21}y_1+o_{22}y_2)-(o_{21}x_1+o_{22}x_2)(o_{11}y_1+o_{12}y_2)=(o_{11}o_{22}-o_{12}o_{21})(x_1y_2-x_2y_1)=\det O\,\det(\boldsymbol x,\boldsymbol y)
$$
で、<Ref to="lem-orthogonal-2x2" /> から $\det O=\pm1$ なので、$S(A',B',C')=\tfrac12\det\bigl(kO(\boldsymbol b-\boldsymbol a),kO(\boldsymbol c-\boldsymbol a)\bigr)=\pm k^2S(A,B,C)$。面積 $|S|$ は $k^2$ 倍になる。

一般の図形（有界閉かつ面積確定な集合 $E$）についても面積は $k^2$ 倍になる。$f$ は $\mathbb{R}^2$ から $\mathbb{R}^2$ への全単射な $C^1$ 級写像（逆写像は $\boldsymbol y\mapsto\frac1kO^{\mathsf T}(\boldsymbol y-\boldsymbol t)$）で、ヤコビ行列は定数 $kO$、$|\det(kO)|=k^2|\det O|=k^2\ne0$ なので、変数変換公式（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#thm-change-of-variables" />、$U=V=\mathbb{R}^2$、被積分関数 $1$）から $|f(E)|=k^2|E|$ である。平行移動の部分もこの公式に含まれている。
</Proof>

## 8. 鏡映による最短経路と Steiner–Lehmus の定理

<Theorem id="thm-heron-reflection" title="Heron の問題（鏡映による最短経路）">
直線 $\ell$ と、$\ell$ 上にない同じ側の 2 点 $A,B$ をとり、$A'$ を $\ell$ に関する $A$ の鏡映（<Ref to="thm-isometry-classification" /> の 3 で $\alpha=0$ の写像による像）とする。

1. $\ell$ 上の点 $P$ について $|AP|+|PB|\ge|A'B|$ で、等号が成り立つのは $P$ が線分 $A'B$ と $\ell$ の交点 $P_0$（ただ 1 つ存在する）のときだけである。
2. （反射の法則）$P_0$ で、$\ell$ の方向ベクトル $\boldsymbol e$ について $\angle(\overrightarrow{P_0A},\boldsymbol e)=\angle(\overrightarrow{P_0B},-\boldsymbol e)$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-heron-reflection">
$\ell=\{\boldsymbol x\mid\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol p)=0\}$（$|\boldsymbol n|=1$）と書き、鏡映を $\sigma(\boldsymbol x)=\boldsymbol x-2\,\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol p)\,\boldsymbol n$ とする（行列 $I-2\boldsymbol n\boldsymbol n^{\mathsf T}$ は直交行列なので等長変換で、$\ell$ 上の点を動かさない）。$\boldsymbol n\cdot(A'-\boldsymbol p)=-\boldsymbol n\cdot(A-\boldsymbol p)$ なので、$A,A'$ は $\ell$ の反対側にあり、$A',B$ も反対側にある。

1: $P\in\ell$ なら $|AP|=|\sigma(A)\sigma(P)|=|A'P|$。三角不等式（前章の <Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-dot-properties" /> の 6）から $|A'P|+|PB|\ge|A'B|$。等号は $\boldsymbol u=\overrightarrow{A'P}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{PB}$ として $|\boldsymbol u+\boldsymbol w|=|\boldsymbol u|+|\boldsymbol w|$、すなわち $\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w=|\boldsymbol u||\boldsymbol w|$ のときで、これはコーシー・シュワルツの等号条件（同 5）により $\boldsymbol u,\boldsymbol w$ が 1 次従属で、さらに内積が正であることから同じ向きであること、つまり $P$ が線分 $A'B$ 上にあることと同値である。線分 $A'B$ 上で $\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol p)$ は 1 次関数で、両端で符号が異なるので零点がただ 1 つある。これが $P_0$ である。

2: $X=P_0+\boldsymbol e$ とおくと $X\in\ell$ なので $\sigma(X)=X$、また $\sigma(P_0)=P_0$、$\sigma(A)=A'$ で、$A\ne P_0$（$A\notin\ell$）である。<Ref to="lem-isometry-angle" />（$k=1$）により $\angle(\overrightarrow{P_0A},\boldsymbol e)=\angle(A-P_0,X-P_0)=\angle(\sigma(A)-\sigma(P_0),\sigma(X)-\sigma(P_0))=\angle(\overrightarrow{P_0A'},\boldsymbol e)$。$P_0$ は線分 $A'B$ の内部の点なので $\overrightarrow{P_0A'}$ は $\overrightarrow{P_0B}$ の負の倍数で、$\angle(\overrightarrow{P_0A'},\boldsymbol e)=\angle(\overrightarrow{P_0B},-\boldsymbol e)$ である。
</Proof>

<Theorem id="thm-steiner-lehmus" title="Steiner–Lehmus の定理">
三角形 $ABC$ で、$\angle B$ の二等分線が辺 $CA$ と交わる点を $E$、$\angle C$ の二等分線が辺 $AB$ と交わる点を $F$ とする。$|BE|=|CF|$ ならば $|AB|=|AC|$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-steiner-lehmus">
$a=|BC|$、$b=|CA|$、$c=|AB|$ とする。<Ref to="thm-angle-bisector" /> の 1（頂点 $B$ で使う）から $|AE|:|EC|=c:a$ なので、<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-section-point" /> により $\boldsymbol e=\dfrac{a\boldsymbol a+c\boldsymbol c}{a+c}$、したがって
$$
\overrightarrow{BE}=\frac{a\,\overrightarrow{BA}+c\,\overrightarrow{BC}}{a+c},\qquad|BE|^2=\frac{a^2c^2+c^2a^2+2ac\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{(a+c)^2}=\frac{ac\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)}{(a+c)^2}
$$
である（$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=ac\cos\angle B$ に <Ref to="lem-cosine-formula" /> を代入すると $2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=a^2+c^2-b^2$）。同様に $|CF|^2=\dfrac{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}{(a+b)^2}$。$|BE|=|CF|$ を $a>0$ で割ると
$$
c-\frac{cb^2}{(a+c)^2}=b-\frac{bc^2}{(a+b)^2}\quad\Longrightarrow\quad c-b=bc\cdot\frac{b(a+b)^2-c(a+c)^2}{(a+c)^2(a+b)^2}.
$$
$b(a+b)^2-c(a+c)^2=(b-c)Q$、$Q=a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2>0$ なので、$K=\dfrac{bcQ}{(a+c)^2(a+b)^2}>0$ として $c-b=(b-c)K$ となり
$$
(b-c)(1+K)=0
$$
を得る。$1+K>0$ なので $b=c$ である。
</Proof>

## 9. 大学ではどこへ続くか

- **群の作用としての等長変換**（algebra の[群の作用と Sylow の定理](/mathematics/algebra/group-actions-sylow)）。<Ref to="thm-isometry-form" /> と <Ref to="thm-isometry-classification" /> は、平面の等長変換の全体が群をなし、$O(2)$ と平行移動の[半直積](/mathematics/algebra/group-actions-sylow#def-semidirect)であることを述べています。合同は「この群の作用で重なる」という同値関係で、図形の分類（正多角形の対称性など）は群論の問題になります。
- **直交行列とスペクトル定理**（[スペクトル定理](/mathematics/linear-algebra/spectral-theorem)）。直交行列は内積を保つ線形写像で、任意の次元で同じ構造を持ちます。
- **リーマン幾何**。曲がった曲面の上では、距離を保つ写像（等長写像）の全体が小さくなり、三角形の内角の和は $\pi$ にならなくなります。この章で内角の和を証明するときに使った「平面は $\mathbb{R}^2$」という事実が、曲面では成り立ちません。

## 10. 演習

<Exercise id="exr-classify-isometry" difficulty="標準">
次の写像は等長変換である。<Ref to="thm-isometry-classification" /> の分類のどれに当たるかを答え、鏡映・回転なら軸・中心を求めよ。（1）$f(x,y)=(x+3,\,-y)$。（2）$g(\boldsymbol x)=R(\pi/2)\boldsymbol x+(1,1)$。
<Solution>
（1）$f(\boldsymbol x)=F(0)\boldsymbol x+(3,0)$ で、$F(0)=\operatorname{diag}(1,-1)$ である。$\theta=0$ なので $\boldsymbol u=(1,0)$、$\boldsymbol v=(0,1)$ で、$\boldsymbol t=(3,0)=3\boldsymbol u$（$\alpha=3$、$\beta=0$）。軸は $x$ 軸で、$3$ だけ軸方向に進む**すべり鏡映**である（不動点なし）。（2）$O=R(\pi/2)\ne I$ なので回転で、中心は $(I-R(\pi/2))\boldsymbol p=(1,1)$ の解。$I-R(\pi/2)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ なので $x+y=1$、$-x+y=1$、つまり $\boldsymbol p=(0,1)$。確かめると $g(0,1)=(-1,0)+(1,1)=(0,1)$ である。$(0,1)$ を中心とする $\pi/2$ の回転。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-polygon-count" difficulty="易">
凸多角形の内角の和が $13\pi$（$2340^\circ$）であるとき、何角形か。また、凸 $n$ 角形の外角の和は $n$ によらないことを示せ。
<Solution>
<Ref to="cor-polygon-angles" /> より $(n-2)\pi=13\pi$ なので $n=15$。外角は $\pi$ から内角を引いたものなので、和は $n\pi-(n-2)\pi=2\pi$ で $n$ によらない。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-bisector-length" difficulty="標準">
$|AB|=6$、$|AC|=4$、$|BC|=5$ の三角形 $ABC$ で、$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とする。$|BD|$、$|DC|$、$|AD|$ を求めよ。
<Solution>
<Ref to="thm-angle-bisector" /> の 1 から $|BD|:|DC|=6:4$ で、$|BD|+|DC|=5$ なので $|BD|=3$、$|DC|=2$。$\boldsymbol d=\dfrac{4\boldsymbol b+6\boldsymbol c}{10}$（<Ref to="mathematics/hs-geometry/plane-vectors#thm-section-point" />）なので $\overrightarrow{AD}=\dfrac{4\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}}{10}$。$2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6^2+4^2-5^2=27$ から $|AD|^2=\dfrac{16\cdot36+36\cdot16+2\cdot24\cdot13.5}{100}=\dfrac{576+576+648}{100}=18$、$|AD|=3\sqrt2$。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-area-ratio-parallel" difficulty="標準">
三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に $|AD|:|DB|=2:1$ となる点 $D$ をとり、$D$ を通り $BC$ に平行な直線が辺 $AC$ と交わる点を $E$ とする。三角形 $ADE$ と四角形 $DBCE$ の面積比を求めよ。
<Solution>
$D=A+\tfrac23(B-A)$ なので、<Ref to="thm-parallel-ratio" /> の 1 から $E=A+\tfrac23(C-A)$、$|AD|:|AB|=|AE|:|AC|=2:3$。2 辺の比と夾角が等しいので $ADE$ と $ABC$ は相似（<Ref to="thm-similarity-conditions" /> の 3）で比は $\tfrac23$。<Ref to="prop-area-ratio" /> の 3 から面積比は $\tfrac49$。四角形 $DBCE$ の面積は $1-\tfrac49=\tfrac59$（$ABC$ を $1$ として）で、求める比は $\tfrac49:\tfrac59=4:5$。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- Robin Hartshorne, *Geometry: Euclid and Beyond*, Springer, 2000 — 平面幾何を公理から組む立場と、平行線公準・合同公理の役割（この章は座標から組む立場をとった）。
- Marcel Berger, *Geometry I*, Springer, 1987 — アフィン幾何とユークリッド空間の等長変換、その分類。
- Marvin Jay Greenberg, *Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History*, W. H. Freeman — 第 5 公準の独立性と非ユークリッド幾何の模型。
- H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, *Geometry Revisited*, Mathematical Association of America, 1967 — 第 1 章。角の二等分線・等積変形・Steiner–Lehmus の定理の初等的な証明が多数載っている。