t = tan(x/2) による置換

命題 4.1（「積分法」§4）・ ✓公理まで証明済み

$-\pi<x<\pi$ とし、 $t=\tan\dfrac x2$ とおく。このとき

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad x=2\arctan t,\qquad\frac{dx}{dt}=\frac2{1+t^2}

である。したがって、 $\sin x,\cos x$ の有理式 $R(\sin x,\cos x)$ の積分は、 $t$ の有理関数の積分

\int R\bigl(\sin x,\cos x\bigr)dx=\int R\!\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac2{1+t^2}\,dt

に帰着し、系 3.5 により初等関数で書ける。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 72 件、定義なども含めて 89 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
倍角・半角・3 倍角の公式✓系 4.2・三角関数
- 加法定理（高校の形）✓定理 4.1・三角関数
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 三角関数の基本性質✓命題 3.1・三角関数（上で展開済み）
- 三角関数の基本性質✓命題 3.1・三角関数
  - cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単位円の媒介変数表示✓定理 7.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
逆三角関数の導関数✓定理 9.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - ライプニッツの交項級数判定法✓定理 7.3・級数と収束判定この先をたどる →
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
  - 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
  - cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
- 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
  - 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - 向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分
  - ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - 分割とダルブー和定義 2.1・積分の基本定理と定積分
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

t = tan(x/2) による置換

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）