倍角・半角・3 倍角の公式

系 4.2（「三角関数」§4）・ ✓公理まで証明済み

任意の実数 $\theta$ に対し次が成り立つ。

$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 、 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$ 。 $\cos\theta,\cos2\theta\ne0$ のとき $\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ 。
$\cos^2\dfrac\theta2=\dfrac{1+\cos\theta}2$ 、 $\sin^2\dfrac\theta2=\dfrac{1-\cos\theta}2$ 。 $\cos\dfrac\theta2\ne0$ 、 $\cos\theta\ne-1$ のとき $\tan\dfrac\theta2=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ 。
$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ 、 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 57 件、定義なども含めて 71 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加法定理（高校の形）✓定理 4.1・三角関数
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面
    ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定この先をたどる →
    絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定この先をたどる →
    複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
  - exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 三角関数の基本性質✓命題 3.1・三角関数（上で展開済み）
三角関数の基本性質✓命題 3.1・三角関数
- cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
    微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
  - 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束この先をたどる →
- 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    ライプニッツの交項級数判定法✓定理 7.3・級数と収束判定この先をたどる →
    中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →
    上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
    cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列
  - アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  - 整列性公理 3.1・証明の技術
- 単位円の媒介変数表示✓定理 7.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 8 件

半円の積分✓補題 2.1・積分の応用
t = tan(x/2) による置換✓命題 4.1・積分法
特別な角の三角関数の値✓命題 3.2・三角関数
cos 72° と cos 36°✓命題 7.3・三角関数
3 倍角の積の公式✓補題 6.1・共線と共点の名定理
Mollweide の公式✓定理 6.1・三角比と三角形の計量
半角公式✓命題 6.3・三角比と三角形の計量
Bretschneider の公式✓定理 7.2・三角比と三角形の計量

倍角・半角・3 倍角の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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